计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质讲解

物理量值 u0
3） 根据特征线及特征相容关系数值积分，求出特征线下
一个点的坐标 (x1, y1) 和函数值 u1 。递推下去，计算出整条特
征线的（离散）坐标及物理量的（离散）值。
4）在边界上选取新的点，重复步骤3），计算出整个计算
域物理量的分布
Copyright by Li Xinliang
x
x s
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
偏微方程在特征线上变成了常微分方程 5
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x, y) u b(x, y) u c(x, y)
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。
特征线
dx ds
u G u
第2类边界条件（ Neumann问题）
u n
G
g(x)
第3类边界条件 （ Robin问题）
1
u n
G
2u
G
h(x)
特点： 全部边界均需提供边界条件（与双曲方程不同）
原因： 椭圆型方程的扰动“全局传播”，全部边界的信息都会影响到内点。
14
拟线性偏微分方程的分类
不同类型的方程具有不同的数学特性，反映出流场 的不同物理特性，因而在进行求解时，也必须采用不 同的数值方法。
Slide 25
1.沿y轴上的信息已知(边界条件)； 2.P 点 的 信 息 扰 动 ， 向 下 游 沿 两 条
特征线传递，并影响两条特征线 之间区域(I)内的信息； 3.特征线反向延伸，与y轴交于a、b， P 点 信 息 依 赖 于 a-b-P 之 间 的 信 息 ， 称依赖区域； 4.边界线上的c点下游特征线及其间 区域对P点无影响。
(3)
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
9
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U) A U
x
x
U f(U) 0 t x

U u
组合情况： 双曲-椭圆型 双曲-抛物型
8
3. 高阶偏微方程—— 可转化为一阶方程组
2 f
2 f
2 f
a b c d
(1)
x2 xy y2
u f ,v f x y
原方程化为一阶方程组：
a
u x

b
u y

c
v y

d
v u
(2)
x y
不适合存在分离的粘性流动，因流向导数的粘性项被忽略了
第四章 偏微分方程的性质
Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
（常用）特例：常系数线性单波方程
u c u 0 t x
初值： u(x,0) (x)
7
如果矩阵A 具有m个实特征值， 这些特征值共具有m个线性无关的 特征向量， 则称为双曲型方程
一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微 分方程）等价。
如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛
物型方程。 如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程

E



0
A

f U


(3 )u2 / 2
(
2)u3 2

uc 2 1
1
(3 )u c2 3 2 u2 1 2

0
1
u

推导
u

f(U) u2 p

u(E

p)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
Slide 16
Slide 17
Slide 18
双曲型偏微分方程的特征线法
Slide 19
4.1 偏微分方程的性质
对于二次曲线方程：
2u 2u 2u u u
或二阶偏微分方程：
a x2
b xy
c y2
d
x
e y

f
0
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
t
x
diag (1,2 ,......m )
令： V SU 有
V Λ V 0 t x
即：
v j t
j
v j x
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
x jt 0
m个特征相容关系式： vj G const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的
u 0 and u c
超音速入口 亚音速入口 超音速出口
u 0 and u c 亚音速出口
边界条件设定
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
12
知识点
5. 椭圆型方程：Laplace方程
2 x2

2 y 2

0
降阶：u
, x
v
1)u3


u2u3 u1


3 u22 2 u1
1 u22 2 u1

好性质： 齐次函数
f(U) f(U)
10
5. 双曲型方程组边界条件提法
U A U 0 t x
v j t
j
v j x
0
变换成为了彼此独立的n个单波方程
3
线性单波方程的边界条件:
u c u 0 xa,b 有限空间)
问题： 如何给定边界条件？
c>0 扰动波向右传播：
重要基本概念，
左端(A)需要给定边界条件；
需掌握
右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件
（即使给定，对计算域也无任何影响, 且造成B端的非适定性）。

a(x,
y)

y
s

b(x,
y)
u c(x, y)
s
6
2. 一阶常系数偏微方程组
U A U 0 t x U (u1,u2 ,......um )T
如果矩阵A 可以被对角化： A S1ΛS
U S1ΛS U 0
t
x
S U ΛS U 0

a(x,
y)

dy
ds

b(x,
y)
(x0 , y0 )
(x1, y1)
s
y x
(x2 , y2 )
(x3, y3 )
特征相容关系
du c(x, y) ds
计算域
步骤：
1）设定积分步长 s （根据精度需求设定，例如0.1
）
2） 在边界上选取初始点 (x0, y0) ，由边界条件确定该点的
上述流动满足定常Euler方程-双曲型
则：翼型上游ab线上的流场信息 （可理解为无穷远来流）可逐步向 下游传递，推进求解。
对于三维定常无粘超音速流动， 方式相同。
Slide 27
4.4.1 双曲型方程-例
1D 2D
非定常无粘流动
对于时间t，无论流动亚音或超音，方程皆为双曲型。 对于一维非定常动，P点参数决定于a-b区域内的初值信息（t=0)，而P点 信息则可以影响其下游两特征线之间区域内的流场参数。 对于二维非定常流动，方式相同。 例子如：一维管道内的波运动，绕二维振荡翼型的二维非定常流动。 Slide 28
u1
U u u2
E

u3

u1,u u2 / u1, E u3 E p 1 u2 1 2
p

(
1)(u3

1 2
u22 u1
)
将矩阵A对角化 A S1ΛS
1 0 0
Λ


0
2
方法： 独立给定j个方程的边界条件
如果 j>0, 则在左端给定vj的边界条件
如果 j<0, 则在右端给定vj的边界条件
A
j=1 j=2
B
特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征 值的符号确定
可推广到一般的双曲型方程组
11
2） 一维Euler方程
U F(U) 0 t x
方程的精确解：u(x,t) (x ct)
x (,)
含义： 以常速度c向右传播。 波形，振幅保持不变
t
t=t3
x-ct=const
重要概念： 特征线
t=t2 t=t1
自变量空间的一条曲 线，该曲线上物理量 的方程可简化 x
基本概念：椭圆型、双曲 型、抛物型方程
u
t=0
x
u
t=t0
x
t=0时刻与t=t0时刻物理量的分布
采用特征线法，可转化为常微分方程
考虑曲线G: x x(s); y y(s)
显然， 沿着该曲线G有： u u dx u dy
s x ds y ds
如果该曲线G满足：
dx ds

a

dy
ds
b
特征线
x
特征线简化了方 程，在空气动力 学领域应用广泛
则有：
du a u b u c ds x y
1.只有一个特征值 2.P点的参数对其下游整个
区域都有影响； 3.P点同样受其上游整个区
域内任意位置的参数影 响； 4. 同 样 适 合 以 “ 推 进 ” 方 法求解
4.4.2 抛物型方程
Slide 29
1. 定常边界层流动
4.4.2 抛物型方程-例
2. “抛物化”粘性流动
N-S方程中流向导数（如下式所列）很小，可忽略，则简化为PNS（抛物型NS方程）
0

0 0 3
一维非定常Euler方程转化为三个单波方程: 扰动波分别以速度 1 u,2 u c,3 u c 传播


f(U)


f1 f2 f3


u
u2

u(E


p
p)


u2

(
y


u x v

v y u
0 0
x y
一阶拟线性方程：U x

A
U y

0，U


u v

,
A


0 1
1
0

特征值：1 i,2 i
类型：椭圆型方程
13
椭圆型方程边界条件的提法：
第1类边界条件（ Dirichlet问题）
因而，P点的流场特性仅仅依赖于 区域III内的流场参数。由此，可 以通过“推进”方法，将边界线 上(y轴)的信息逐步向下游(x方向) 推进，以求解流场。
4.4.1 双曲型方程
III:依赖区域
左行线
右行线 I:影响区域
II:C点影响区域
Slide 26
4.4.1 双曲型方程-例
定常无粘超音速流动
假设流动： 1.绕流孤立翼型 2.绕流可以有攻角，但不产生脱体 激波，同时不存在局部跨音速流动
双曲型方程 抛物线型方程 椭圆形方程
Slide 20
4.2 偏微分方程组的分类
偏微分方程组同样具有三种不同分类： 双曲型、抛物型、椭圆型
判别方法：克莱默法则、特征值法
Slide 21
4.3 特征值法
取偏微分 方程组：
则方程组可写为:
定义：
的特征值为实数，双曲型；为复数，椭圆形；特征根
既有实数，又有复数，则为混合型。
c<0 扰动波向左传播： 右端(B)需要给定边界条件； 左端(A)无需给定
对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖 于初始值，则称数学问题的提法是适定的。
4
（一般形式）一阶线性偏微方程
a(x, y) u b(x, y) u c(x, y)
x
y
y
x x(s); y y(s)
Slide 22
4.3 特征值法-例
取二维可压缩 无旋定常流动 控制方程组
其中：
求逆矩阵：
或
Slide 23
4.3 特征值法-例
M > 1，特征根为实数，方程组为双曲型；
M = 1，特征根为或一个实特征值，方程组为抛物线；
M < 1，特征根为虚数，方程组为椭圆型。
Slide 24
4.4 不同类型偏微分方程的性质
x

u v


b / a 1
c
/
a 0
y

u v



d 0
/
a

转化为一阶偏微方程组
矩阵
0 b2 4ac 0
0
A

b
/a 1
c/a 0
I A 0 a2 b c 0
U (, u, E)T
A F(U) U
u

F(U) u2 p

(E

p)u

1 u, 2 u c, 3 u c
A S1ΛS diag (1,2 ,3 )
对于左边界：
条件
描述
u 0 and u c u 0 and u c