平面向量的坐标与点的坐标的关系

(,)a x y =

①几何法：向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

11(,)a x y =22(,b x y =a b +)(211y y x ++=，= b , 则BA = a - b

可以表示为从向量的终点指向向量a 的终点的向量。11(,)a x y =22(,b x y =a b -(1x -=的积是一个向量，记作：λa

②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0

(2)坐标运算：),(y x a λλλ=

5. 向量共线的充要条件：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔

y x y x b a λ

二、平面向量的直角坐标 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实

数x 、y ，使得

yj xi a +=…………○

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作

),(y x a =…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○

2式叫做向量的坐标表示

与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x

特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

三．平面向量的坐标运算

（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --=

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=

即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=

（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)

（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=

例1 如图所示，用基底i 、j 分别表示向量a 、b 、c 、d ，并求

出它们的坐标．

解：a = 2i + 3j = (2，3)，b = - 2i + 3j = (- 2，3)，

c = - 2i - 3j = (- 2，- 3)，

d = 2i - 3j = (2，- 3)．

例2已知a +b =(2,-8),a -b =(-8,16),求a 和b .

例3已知)1,2(=a ，)4,3(-=b ，求b a +，b a -，b a 43+的坐标。

例4已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为)1,2(-、)3,1(-、)4,3(，求顶点D 的坐标。

教学小结

1．引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中．

2．要把点坐标(x ，y )与向量坐标区分开来，两者不是一个概念．

3. (1)任一平面向量都有唯一的坐标;

(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；

(3)相等的向量有相等的坐标

作业布置 课堂练习 P22 A 1-4

课后作业 P23 B 2,3

P24 A 4