高等数学：第六讲 幂级数的收敛域

定义5 幂级数的收敛域：
幂级数 anxn 收敛点的全体. n0
问题：如何求幂级数的收敛域？
幂级数收敛域的求法
定理1 阿贝尔定理
(1) 设幂级数 anxn 在 x0 0 处收敛，则
n0
对任何点 x : x x0 anxn 绝对收敛
n0
x0
0
x0 收敛点
(2) 设幂级数 anxn 在 x0 0 处发散，则
对于幂级数 anxn,
n0
如果
lim
n
an1 an
(1)
当0
时，R
1
；
，则
(2) 当 0 时，R ；
(3) 当 时，R 0 .
幂级数收敛域的求法
幂级数 anxn 收敛域的求法： n0
(1) 求收敛半径R ；
(2) 写出收敛区间(R, R) ；
(3) 讨论幂级数在x R 处的敛散性， 并写出收敛域.
例题1：
xn
求幂级数 n0 n 3n
的收敛半径、收敛区间及收敛域.
解
an
1 n 3n
,
lim an1 a n
n
lim
n
(n
n 3n 1) 3n1
1 3
所以，收敛半径 R 3 收敛区间 (3,3)
x 3 当
时，
xn
n0 n 3n
3n n0 n 3n
1 n0 n
发散
当
anxn
幂级数的收敛域的概念
定义3
收敛点
x0
:
使数项级数
un
(
x0
)收敛的点.
n1Байду номын сангаас
例 x 1 , 2 , 4 235
都是 xn1 的收敛点. n1
定义4
发散点
x0
:
使数项级数 un ( x0 ) 发散的点.
n1
例
x 2, 3 , 5
都是 xn1的发散点.
24
n1
幂级数的收敛域的概念
x
3
时，
xn
n0 n 3n
(3)n n0 n 3n
(1) n n0 n
收敛域 [3,3)
收敛
谢谢
幂级数的收敛 域
目录
01 幂级数的收敛域的概念 02 幂级数收敛域的求法
幂级数的收敛域的概念
定义1 函数项级数:
函数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x) x I
n1
例
幂函数
xn1 1 x x2 xn1 x R
n1
定义2 幂级数 系数 an xn a0 a1x a2x2 n0
n0
对任何点 x : x x0 anxn 发散
n0
x0 0
x0 发散点
阿贝尔定理的解释
以幂级数 xn1 为例，解释阿贝尔定理 n 1
3 2
2 3
2
3
3
2
2
5
1 4 5
1 2
4
0
1 41 5 254
2
收敛半径 R
问题：对于一般的幂级数 anxn，怎样求收敛半径？ n0
收敛半径R的求法
定理2