九下 相似三角形(图上距离与实际距离、黄金分割、相似图形)知识点+例题+练习 分类全面

（1）求c b a 、、的值 6,4,12

（2）若线段x 是线段b a 、的比例中项，求x 2倍根号6

7、如图，在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm 。且EC

AE

BD AD =

（1）求AD 的长；7.2 （2）试判断AC

EC

AB BD =是否成立

成立

8. 如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，BE 1⊥AC ，E 1F 1⊥AB ，F 1E 2⊥AC ，E 2 F 2⊥AB ，F 2 E 3⊥AC ． (1)求AE 3：AB 的值．根号2:8

(2)作E 3 F 3⊥AB ，F 3E 4⊥AC ，…，F n －l E n ⊥AC ， 求AE n ：AB 的值． 根号2：（2分之1）的n 次方

9. 已知60a b c ++=，且345

a b c

==，求,,a b c 的值. 15,20,25

如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果

AC

BC

AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割.

其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 和AB 的比值约为0.618，这个比叫做黄金比. 注意：

（1）由黄金分割的定义知BC AB AC •=2 (2)黄金比为618.02

1

5≈-==AC BC

AB AC

（二）、黄金矩形

宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形.

（三）、黄金三角形

顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如右图 注意：黄金三角形有以下性质： （1）

618.0≈AB

BC

（2）设BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线，则△BCD 也是黄金三角形，且AD 是AC 、CD 的比例中项，点D 是线段AC 的黄金分割点，即底角平分线将腰黄金分割； （3）再作∠BDC 的平分线交BC 于点E ，则△CDE 同样是黄金三角形 例：

1、如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是AB 靠近B 的黄金分割点，若AB=80cm ，求AC 的长度. 40倍（根号5-1）

2、如图所示的矩形ABCD 是黄金矩形，且15+=BC ，BC ＞AB ，求

AB 的长.

2

3、如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AC

AD

等于

2分之（根号5-1）

4、 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是( )B

A. AC AB BC AC =

B. BC AC

AB BC = C. AC AB AB BC = D. BC AC

AB AB

=

5. 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，并且,1AC CB AB >=，那么AC 的长度为( )C

形状相同的图形叫做相似图形

注意：

（1）相似的图形形状必须完全一样； （2）相似的图形的大小有时相同，有时不相同

（3）相似图形不一定是全等图形，但全等图形一定是相似图形 例1：如图所示的各组图形相似的是（ ）

A ．①③

B ．③④

C ．①②

D ．①④ （二）、相似三角形

各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比叫做相似比.

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=∠C ′，

k C A AC

C B BC B A AB ='

'=''=''，则△

ABC 和△A ′B ′C ′相似，相似符号“∽”表示，记作△ABC ∽△'''C B A ，读作△ABC 相似于△'''C B A ，对应边的比叫做相似比，即k 的值叫做相似三角形的相似比. 注意：

（1）记两个三角形相似时，通常把表示对应定点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.

（2）当相似比为1时，两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形叫做全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例. 例：

1、如图，已知AD=3cm ，AC=6cm ，BC=9cm ，∠B=36°，∠D=117°，△ABC ∽△DAC

（1）求AB 的长；（2）求∠BAD 的大小．

2. 下列说法正确的是( ) A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的锐角三角形都相似

D.所有的等边三角形都相似

3. 如图所示，△ABC ∽△DBA ，80BAC ∠=︒，70C ∠=︒，5,3,6AB AC BC ===求:

(1) ,,ADB BAD DAC ∠∠∠的度数; (2),BD AD 和DC 的长.

6分之25,2分之5,6分之11

4．如图，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE 、BE 的长．

4,5

5、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，求EF 的长．

根号13

6、已知两个相似三角形的一对对应边的长度分别是35 cm和14 cm，它们的周长差是60 cm，求这两个三角形的周长．

100,40

(三)、相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比

1、如图，四边形ABCD∽四边形GFEH且∠A=∠G=70°，∠B=60°，∠E=120°，DC=24，HE=18，HG=21.求∠D、∠F的度数和AD的长.

2. 如图所示的三个矩形中，是相似多边形的是( )