分数加减法速算与巧算.教师版及学生版
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第一套:分数加减法速算与巧算.教师版
第一套:分数加减法速算与巧算.学生版
分数加减法速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算板块的部分,难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律,并在计算中运用凑整的技巧。
知识点拨
一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,他们的和不变。即:a+b=b+a
其中a,b各表示任意一数.例如,7+8=8+7=15.
总结:多个数相加,任意交换相加的次序,其和不变.
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,他们的和不变。
即:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
其中a,b,c各表示任意一数.例如,5+6+8=(5+6)+8=5+(6+8).
总结:多个数相加,也可以把其中的任意两个数或者多个数相加,其和不变。
二、减法
在连减或者加减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”.例如:a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b,其中a,b,c各表示一个数.
在加减法混合运算中,去括号时:如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变;如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”.如:a+(b-c)=a+b-c
a-(b+c)=a-b-c
a-(b-c)=a-b+c
在加、减法混合运算中,添括号时:如果添加的括号前面是“+”,那么括号内的数的原运算符号不变;如果添加的括号前面是“-”,那么括号内的数的原运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。
如:a+b-c=a+(b-c)
a-b+c=a-(b-c)
a-b-c=a-(b+c)
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质:凑整
常用的思想方法:
1、 分组凑整法.把几个互为“补数”的减数先加起来,再从被减数中减去,或先减去那些与被减数有
相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加,如果恰好凑成整十、整百、整千……,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”.
2、加补凑整法.有些算式中直接凑整不明显,这时可“借数”或“拆数”凑整.
3、数值原理法.先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加,然后再与其它的数相加.
4、“基准数”法,基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时,选这个整数为“基准数”(要注意把多加的数减去,把少加的数加上)
【例 1】 1
14
104
1004
2282082008+++=_____
【考点】分数约分 【难度】1星 【题型】计算
【关键词】希望杯,五年级,一试
【解析】 原式=1
1
11
=22222+++
【答案】2
【例 2】 如果111
207265009A +=,则A =________(4级)
【考点】分数约分 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】希望杯,六年级,一试
【解析】 111112591207265009873773725125920082008+=+=⨯=⨯⨯⨯⨯,所以A =2008.
【答案】2008
模块一:分组凑整思想
【例 3】 11211232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知分母是1的和为1;分母是2的和为2;分母是3的和为3;……依次类推;分母是1995
的和为1995.这样,此题简化成求1231995++++的和.
11
2
1
1232112199511222333331995199519951995+++++++++++++++
12341995119951995299819951991010=+++++=+⨯÷=⨯=()
【答案】1991010
【例 4】 1
1
11222233318181923420345204520192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【考点】分组凑整 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为12+;分母是4分子和为123++;……依次类例题精讲
推;分母是20子和为12319++++. 原式()1
1
11(12)(123)1231923420=+⨯++⨯++++⨯++++
()1
1
11(12)22(13)3211919223420=+⨯+⨯÷+⨯+⨯÷++⨯+⨯÷
1
2
3
19
952222=++++=
【例 1】 分母为1996的所有最简分数之和是_________
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数,分子不能是偶数,也不能是499的倍数,
499与3×499。因此,分母为1996的所有最简真分数之和是
1
1995
3
199********
997
999
()()()()11149819961996199619961996199619961996++++++++=++⋯+=
【答案】498
【巩固】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是__________。
【考点】分组凑整 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个,分母为17的真分数相加,和
等于 11621531489()()()()81717171717171717++++++++==171
2-。
类似地,可以求出其它分母为质数的分数的和。因此,所求的和是
1
315171111131171191231291
2222222222---------+++++++++
1
1
123568911145922=+++++++++=
【答案】1
592
模块二、位值原理
【例 5】 44444
99999999999999955555++++ 【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式
4444499999999999999955555=+++++++++444
44
99999999999999955555=+++++++++
4
10100100010000100000555=++++-+⨯111109=
【答案】111109
【例 6】 1
1
1
1
123102612110++++= . 【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 原式()1111123102612110⎛⎫
=+++++++++ ⎪⎝⎭