高中数学学案：三角函数的诱导公式

高中数学学案:三角函数的诱导公式

1. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式．

2. 会运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．

3. 能熟练运用诱导公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明.

1. 阅读:必修4第18～21页．

2. 解悟:①三角函数诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限”；②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤:负角变正角,大角变小角(锐角三角函数)．

3. 践习:必修4第20页练习第2题；第22页习题第4、5、6题.

基础诊断

1. sin (－750°)＝__－1

2__．

解析:sin (－750°)＝－sin 750°＝－sin (2×360°＋30°)＝－sin 30°＝－1

2.

2. tan 300°＋2sin 450°cos (－120°)的值为．

解析:tan 300°＋2sin 450°·cos (－120°)＝tan (－60°)＋2sin 90°·(－cos 60°)＝－3＋2×1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝－3－1.

3. 若sin (125°－α)＝1213,则sin (α＋55°)＝__12

13__．

解析:sin (α＋55°)＝sin [180°－(125°－α)]＝sin (125°－α)＝12

13. 4. 化简:sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－αcos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋αcos （π＋α）＝__1__．

解析:sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－αcos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋αcos （π＋α）＝cos α·（－cos α）cos α·（－cos α）＝1.

范例导航

考向❶ 通过诱导公式将角变形 例1

(1) 化简:

sin （2π－α）tan （π＋α）

cos （π－α）tan （3π－α）tan （－α－π）

；

(2) 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2

3,求sin (α－2π3)的值．

解析:(1) sin (2π－α)＝sin (－α)＝－sin α, tan (3π－α)＝tan (π－α)＝－tan α, tan (－α－π)＝－tan (α＋π)＝－tan α,

原式＝（－sin α）tan α（－cos α）（－tan α）（－tan α）＝sin αcos αtan α＝sin α

sin α＝1.

本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简． (2) sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－2π3＝sin [－π2－(π6－α)]

＝－sin ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－α＝－23.

化简:sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2＋αcos （3π－α）tan （π＋α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2＋αcos （－α－π）＝__1__．

解析:原式＝－cos α·（－cos α）tan α

－sin α·（－cos α）＝1.

【备用题】 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α与 cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4＋α的值．

解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π4－α＝cos ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4＝13.

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＋α＝cos ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π4＝－13.

【注】 化简的实质是恒等变形,化简的结果应尽可能简洁. 应该满足:①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单；③特殊角的三角函数应求出它们的值. 考向❷ 利用诱导公式,进行化简求值

例2 已知cos (π＋α)＝－1

2,且α为第四象限角,计算: (1) sin (2π－α)；

(2) sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z)．

解析:因为cos(π＋α)＝－1

2, 所以－cos α＝－12,cos α＝1

2.

又α在第四象限,所以sin α＝－1－cos 2α＝－3

2. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝3

2.

(2) 原式＝sin （α＋2n π＋π）－sin α

sin αcos α

＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－

2cos α＝－4.

化简:

sin （α＋n π）＋sin （α－n π）

sin （α＋n π）cos （α－n π）

(n ∈Z)．

解析:①当n ＝2k ,k ∈Z 时,

原式＝sin （α＋2k π）＋sin （α－2k π）sin （α＋2k π）cos （α－2k π）＝2cos α；

②当n ＝2k ＋1,k ∈Z 时,

原式＝sin[α＋（2k ＋1）π]＋sin[α－（2k ＋1）π]sin[α＋（2k ＋1）π]cos[α－（2k ＋1）π]

＝－2cos α.

【注】 关键是注意题中的整数n 是表示π的整数倍,与公式一中的整数k 的意义有区别,所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论.

【备用题】 已知sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋α＝1

3,

求cos （α－2π）

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2cos （α－π）－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π2＋α的值．

【点评】 先进行化简,再代入求值,关键是正确应用诱导公式．注意适当化简或变形,如cos(α