《第一章函数》PPT课件

1
o
y x
(1,1) y 1
x
1
x
2、 0时,图形过(1,1)点,
在(0,)内是单调减
函数.
上页 下页 结束
2、指数函数
定义：形如 yax (a0,a1)的函数。(特例 yex)
性质：
1 . 图形过 ( 0 ,1 )点 ; 2.a x 0. 3 . 当 a 1时 , a x 单调增
y (1)x a
例 4设 f(x)的定(义 0,1)求 ,域 f(lxg )是 的定 . 义
上页 下页 结束
1.2.3 初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
kxk时 ,co xt0
22 2
上页 下页 结束
复合函数例题
例 1分析函 y数 lnsinx的复合. 结构 例 2 设 f( x ) x 2 ,g ( x ) 2 x ,求 f[ g ( x )g ] [f( , x )]
例 3设 f(x )1,求 f[f(x )]f{ ,f[f(x )]}. 1 x
当0 a 1时, loga x单调减. (1,0) 3.定义域: (0,).
yloagx
(a1)
y log1 x
a
上页 下页 结束
4、三角函数
正弦函数
定义：形如 ysinx的函数。
2
ysinx
2
性质：1.定义域: (,).
2. 奇函数,图形对称于原点.
3.以2为周期.
4.| sin x | 1.
上页 下页 结束
复合函数
两个以上的函数也可构成复合函数。换句话说， 复合函数的中间变量可以不止一个。
例如, y u, u0 u c v ,v o k ( k t 0 , 1 , 2 , ) vx, x( ,) 2
可定义复合函数:
y
cot x , 2
x (2 k,(2 k 1 )]n,Z
yarccxos
2
性质：
1. 定义域 :[1,1].
2. 0 arccos x .
3. 单调减.
上页 下页 结束
反正切函数
定义：形如 yarc x,x t a[ n, ] 的函数。
2
yarctaxn
性质：1. 定义域 : [ , ]. 2
2. 奇函数 ,图形对称于原点 .
3. arctan x .
,
当 0 a 1时 , a x 单调减 .
4 . a x 与 a x 关于 y 轴对称 .
5 . 定义域 : ( , ).
•
y ax (a1)
(0,1)
上页 下页 结束
3、对数函数
定义：形如 y co x ; 的函s 数。
(特例ylnx、ylgx)
性质：
1.图形过点(1,0). 2.当a 1时,loga x单调增;
上页 下页 结束
余弦函数
定义：形如 ycox的s函数。
2
3
2
2
ycoxs
3 2
性质：1.定义域: (,).
2. 偶函数,图形对称于y轴.
3.以2为周期.
4.| cosx | 1.
上页 下页 结束
正切函数
定义：形如 ytaxn的函数。
ytaxn
性质：1. 定义域 : x (2 k 1) .
2 2. 奇函数 ,图形对称于原点 . 3. 以 为周期 .
4 . 在 ( , )内单调增 . 22
上页 下页 结束
余切函数
定义：形如 ycoxt的函数。
ycoxt
性质：1.定义域 : x k .
2. 奇函数,图形对称于原点 .
3. 以为周期. 4. 在(0, )内单调减.
上页 下页 结束
否则称为非初等函数 .
例如
,
y
x, x,
x0可表为 x0
y
Biblioteka Baidu
x2 , 故为初等函数.
又如 , ylnsin 2x,y3 tanx,ye2xcoxs等都是初。等
上页 下页 结束
初等函数
在微积分运算中,常会把一个初等函数分解为 基本初等函数或基本初等函数的四则运算形式进 行研究。因此要学会分析初等函数的结构。
5、反三角函数
反正弦函数
定义：形如 yarc x,x s i[ n 1 ,1 ]的函数。
yarcsxin 性质：
1. 定义域 : [1,1].
2. 奇函数 ,图形对称于原点 .
3. arcsin x .
2
2
4. 单调增 .
上页 下页 结束
反余弦函数
定义：形如 yarcx,c x o [ 1 s ,1 ]的函数。
2
2
4. 单调增 .
上页 下页 结束
反余切函数
定义：形如 yac rc o x,xt [, ] 的函数。
yarccoxt
性质：1. 定义域: [,]. 2. 0 arccotx .
3. 单调减.
上页 下页 结束
1.2.2 复合函数
定义：设有函数链
yf(u),u D 1
①
ug (x),x D , 且g(D)D1 ②
1.2 初等函数
1.2.1 基本初等函数及其图形 1.2.2 复合函数 1.2.3 初等函数
上页 下页 结束
1.2.1 基本初等函数及其图形
五类基本初等函数:
1）幂函数 yx(R)
2）指数函数 y lo ax( g a 0 ,a 1 )
3）对数函数 y co x ;s
4）三角函数 yarcxc;osysin x;
例5设ytan 1 ,试分析函数.的结构 1x2
例6设y x3 sin2 x,试分析函数的.结构
如果一个函数必须用几个式子表示（如分段 函数）时，则这样的函数不是初等函数。
上页 下页 结束
非初等函数举例
符号函数
1, 当x>0
y sg x n0 , 当 x = 0 1, 当 x < 0
y
1
o
x
yarctx;an ytaxn ;
5）反三角函数 ycox;tyarcsxi;n
yarccotx No Image
上页 下页 结束
1、幂函数
定义：形如 yx (R,是常)数 的函数。定义域与
的取值有关。
性质：
y
yx
1、 0时,图形过(0,0)
及(1,1)点, 在(0,)内 是单调增函数.
y x2
则 y f[g (x )],x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g(D)D1不可少. 例如 函数链 : yarcsui,nu2 1x2,可定义
复合函数：
yarc2s1 i nx2, xD[1,23][ 23,1] 但函数链 yarc u,u s i2 n x2 不能构成复合函数 .