2019届西藏拉萨市高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
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∵f(x＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故C正确；
由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在 上不单调，故D错误．
故选D.
9．若 展开式的常数项等于-80，则 （）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】A
【解析】用 展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上 展开式中的 系数乘以1即得已知式展开式的常数项．
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.
18．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
（年龄/岁）
2019届西藏拉萨市高三第三次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ， ，则 中有2个元素.故选B.
【点睛】
本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．
12．若 都有 成立，则 的最大值为（）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】将题目所给不等式转化为 ，构造函数 ，利用导数研究函数 的单调性，由此得出正确的选项.
5．英国统计学家 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：
法官甲
法官乙
终审结果
民事庭
行政庭
合计
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
29
100
129
维持
90
20
110
推翻
3
18
21
推翻
10
5
15
合计
32
118
150
合计
100
25
125
记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，则下面说法正确的是（）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【详解】
由已知 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质： ，把向量模的运算转化为向量的数量积．
7．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．
（2）由余弦定理并代入 可得 ，结合基本不等式可得 的范围，从而得出 的最小值及此时 取值.
【详解】
（1）由已知及正弦定理得 ，
即 ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，∴ .
（2）∵ ，
化简得 ，
∵ ，∴ ，
代入 式得 ，
∵ ，∴ ，即 ，
解得 或 （舍），当且仅当 时取“ ”.
∴ ，即 的最小值为1，此时 ，且 为正三角形.
【答案】D
【解析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为 ， ，行政庭维持原判的案件率 ， ，总体上维持原判的案件率为 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率为 ，总体上维持原判的案件率为 ．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线 的右顶点 作 轴垂线，交渐近线于点 ，则 ， .
三、解答题
17．已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的周长为3，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】（1）由正弦定理把条件 转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得 的关系式，从而可得结论.
【详解】
从7只动物中任选2人的方法数为 ，熊大，熊二至少一只被选中的方法数为 ，∴所求概率为 ．故答案为 ．
【点睛】
本题考查古典概型概率公式，解题关键是确定基本事件的个数．
15．记 为数列 的前 项和，若 ， ，则通项公式 ______.
【答案】
【解析】先求出 ，然后由 得 ，两式相减得 ，从而由等比数列定义得数列为等比数列.
附：参考数据： ， ， ， ， ， ，
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【答案】(1)（ⅰ）47（ⅱ）见解析；(2) ； %．
【解析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数 的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2．设复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．2
16．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ，过 且斜率为 的直线 与 的一条渐近线在第一象限相交于 点，若 ，则该双曲线的离心率为______.
【答案】3
【解析】由 得 ，从而有 ，再由直角三角形性质得 ，变形可得.
【详解】
∵ ，∴ 是直角三角形，又 是 中点，∴ ，又 在双曲线渐近线上，∴ ，∴ ，变形可得： ， ，∴ ， .故答案为3.
【详解】
由题意，执行如图所示的程序框图，可得：
第1次循环： ，不满足判断条件；
第2次循环： ，满足判断条件；
终止循环，输出计算的结果 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【详解】
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，由 得 ，两式相减得 ，即 ，而 ，∴ 是公比为2的等比数列，∴ .故答案为 .
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前 项和 与项 之间的关系，即 ，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有 ，因此要考虑数列的首项 与 的关系是否与它们一致.
当且仅当n m时，取得最小值6+4 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
11．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，其底面边长为3， ， ， 分别为侧棱 ， ， 的中点.若 在三棱锥 内，且三棱锥 的体积是三棱锥 体积的3倍，则平面 截球 所得截面的面积为（）
3．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （）
A．8B．9C．16D．15
【答案】D
【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差 ，再由等差数列的通项公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
所以 ， ， ．选D．
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （）
A． B．3C． D．
【答案】C
【解析】利用 计算．
26
27
39
41
49
53
56
58
60
61
（脂肪含量/%）
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图.
（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（i）求 ；
（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.
（2）若 关于 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
【答案】-3
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
目标函数 ，可化为直线 ，
直线 过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，
又由 ，解得 ，
所以目标函数的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
【详解】
解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，
可得切线的斜率为3s2﹣4s，
切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，
解得s＝2，t＝2或s ，t ，
由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），
可得2m+2n＝1成立，（s ，t ，舍去），
则 （2m+2n）（ ）＝2（3 ）≥2（3+2 ）＝6+4 ，
【详解】
由题意 ，解得 ．故选A．
【点睛】
本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．
10．若曲线 在点 处的切线方程为 ，且点 在直线 （其中 ， ）上，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．
4．某公司生产 ， ， 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少8辆，则 （）
A．96B．72C．48D．36
【答案】B
【解析】根据分层比例列式求解.
【详解】
由题意得 选B.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.
【答案】
【解析】先求出任选2只动物的方法数，然后再求出熊大，熊二至少一只被选出的方法数，最后由古典概型概率公式计算概率．
【答案】C
【解析】【详解】
∵(1＋i)z＝2i，
∴z＝ ＝ =1＋i.
∴|z|＝ ＝ .
故答案：C
【点睛】
本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作 ．
8．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x= 对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在( ,π)单调递减
【答案】D
【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
【详解】
原不等式可转化为 ，构造函数 ， ，故函数在 上导数大于零，单调递增，在 上导数小于零，单调递减.由于 且 ，故 在区间 上，故 的最大值为 ，所以选B.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.
二、填空题
13．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为______.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是底面 的中心，则 在 上，而由 得 ， 与平面 交于点 ， 是过平面 的截面圆圆心，在 中由勾股定理求得 ，再由截面圆性质可求得截面圆半径．
【详解】
如图， 是底面 的中心，则 在 上，而由 得 ，设 ，则 ，又 ， 是 中心，则 ，∴由 得 ，解得 ，设 与平面 交于点 ，∵ 分别是 的中点，则 是 的中点，∴ ， ，设平面 截球 所得截面圆半径为 ，则 ，∴此圆面积为 ．故选A．
由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在 上不单调，故D错误．
故选D.
9．若 展开式的常数项等于-80，则 （）
A．-2B．2C．-4D．4
【答案】A
【解析】用 展开式中的常数项（此式中没有此项）乘以2加上 展开式中的 系数乘以1即得已知式展开式的常数项．
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.
18．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：
（年龄/岁）
2019届西藏拉萨市高三第三次模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ， ，则 中有2个元素.故选B.
【点睛】
本题考查棱锥与其外接球，解题关键首先是确定球的半径，然后根据截面圆性质求得截面圆半径从而得出其面积．记住结论：正棱锥的外接球球心一定在其高上．
12．若 都有 成立，则 的最大值为（）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】将题目所给不等式转化为 ，构造函数 ，利用导数研究函数 的单调性，由此得出正确的选项.
5．英国统计学家 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：
法官甲
法官乙
终审结果
民事庭
行政庭
合计
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
29
100
129
维持
90
20
110
推翻
3
18
21
推翻
10
5
15
合计
32
118
150
合计
100
25
125
记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为 ， 和 ，则下面说法正确的是（）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【详解】
由已知 ， ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质： ，把向量模的运算转化为向量的数量积．
7．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．
（2）由余弦定理并代入 可得 ，结合基本不等式可得 的范围，从而得出 的最小值及此时 取值.
【详解】
（1）由已知及正弦定理得 ，
即 ，
∵ ，
∴ .
又∵ ，∴ .
（2）∵ ，
化简得 ，
∵ ，∴ ，
代入 式得 ，
∵ ，∴ ，即 ，
解得 或 （舍），当且仅当 时取“ ”.
∴ ，即 的最小值为1，此时 ，且 为正三角形.
【答案】D
【解析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为 ， ，行政庭维持原判的案件率 ， ，总体上维持原判的案件率为 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率的案件率为 ，行政庭维持原判的案件率为 ，总体上维持原判的案件率为 ．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，解题关键是掌握双曲线的性质：即过双曲线 的右顶点 作 轴垂线，交渐近线于点 ，则 ， .
三、解答题
17．已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的周长为3，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】（1）由正弦定理把条件 转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得 的关系式，从而可得结论.
【详解】
从7只动物中任选2人的方法数为 ，熊大，熊二至少一只被选中的方法数为 ，∴所求概率为 ．故答案为 ．
【点睛】
本题考查古典概型概率公式，解题关键是确定基本事件的个数．
15．记 为数列 的前 项和，若 ， ，则通项公式 ______.
【答案】
【解析】先求出 ，然后由 得 ，两式相减得 ，从而由等比数列定义得数列为等比数列.
附：参考数据： ， ， ， ， ， ，
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， .
【答案】(1)（ⅰ）47（ⅱ）见解析；(2) ； %．
【解析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数 的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2．设复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．2
16．已知双曲线 ： 的左、右焦点为 、 ，过 且斜率为 的直线 与 的一条渐近线在第一象限相交于 点，若 ，则该双曲线的离心率为______.
【答案】3
【解析】由 得 ，从而有 ，再由直角三角形性质得 ，变形可得.
【详解】
∵ ，∴ 是直角三角形，又 是 中点，∴ ，又 在双曲线渐近线上，∴ ，∴ ，变形可得： ， ，∴ ， .故答案为3.
【详解】
由题意，执行如图所示的程序框图，可得：
第1次循环： ，不满足判断条件；
第2次循环： ，满足判断条件；
终止循环，输出计算的结果 ，故选A．
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
【详解】
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，由 得 ，两式相减得 ，即 ，而 ，∴ 是公比为2的等比数列，∴ .故答案为 .
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前 项和 与项 之间的关系，即 ，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有 ，因此要考虑数列的首项 与 的关系是否与它们一致.
当且仅当n m时，取得最小值6+4 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．
11．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，其底面边长为3， ， ， 分别为侧棱 ， ， 的中点.若 在三棱锥 内，且三棱锥 的体积是三棱锥 体积的3倍，则平面 截球 所得截面的面积为（）
3．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （）
A．8B．9C．16D．15
【答案】D
【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，求得公差 ，再由等差数列的通项公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为 ， ，
即 ，解得 ，
所以 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
所以 ， ， ．选D．
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （）
A． B．3C． D．
【答案】C
【解析】利用 计算．
26
27
39
41
49
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61
（脂肪含量/%）
14.5
17.8
21.2
25.9
26.3
29.6
31.4
33.5
35.2
34.6
根据上表的数据得到如下的散点图.
（1）根据上表中的样本数据及其散点图：
（i）求 ；
（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.
（2）若 关于 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.
【答案】-3
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
目标函数 ，可化为直线 ，
直线 过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，
又由 ，解得 ，
所以目标函数的最小值为 ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
【详解】
解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，
可得切线的斜率为3s2﹣4s，
切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，
解得s＝2，t＝2或s ，t ，
由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），
可得2m+2n＝1成立，（s ，t ，舍去），
则 （2m+2n）（ ）＝2（3 ）≥2（3+2 ）＝6+4 ，
【详解】
由题意 ，解得 ．故选A．
【点睛】
本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则．
10．若曲线 在点 处的切线方程为 ，且点 在直线 （其中 ， ）上，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．
4．某公司生产 ， ， 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，若样本中 种型号的轿车比 种型号的轿车少8辆，则 （）
A．96B．72C．48D．36
【答案】B
【解析】根据分层比例列式求解.
【详解】
由题意得 选B.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.
【答案】
【解析】先求出任选2只动物的方法数，然后再求出熊大，熊二至少一只被选出的方法数，最后由古典概型概率公式计算概率．
【答案】C
【解析】【详解】
∵(1＋i)z＝2i，
∴z＝ ＝ =1＋i.
∴|z|＝ ＝ .
故答案：C
【点睛】
本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作 ．
8．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x= 对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在( ,π)单调递减
【答案】D
【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；
f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
【详解】
原不等式可转化为 ，构造函数 ， ，故函数在 上导数大于零，单调递增，在 上导数小于零，单调递减.由于 且 ，故 在区间 上，故 的最大值为 ，所以选B.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.
二、填空题
13．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为______.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 是底面 的中心，则 在 上，而由 得 ， 与平面 交于点 ， 是过平面 的截面圆圆心，在 中由勾股定理求得 ，再由截面圆性质可求得截面圆半径．
【详解】
如图， 是底面 的中心，则 在 上，而由 得 ，设 ，则 ，又 ， 是 中心，则 ，∴由 得 ，解得 ，设 与平面 交于点 ，∵ 分别是 的中点，则 是 的中点，∴ ， ，设平面 截球 所得截面圆半径为 ，则 ，∴此圆面积为 ．故选A．