厦门大学第12届景润杯数学竞赛试卷答案(理工类)汇编

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一、 求下列各题极限（每小题5分，共15分）

（1） 求极限 20(32sin )3lim tan x x

x x x

→+-. 原式2

ln(1sin )3222

000022(1sin )1ln(1sin )e 133lim3lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x +→→→→+-+-=⋅== 02

sin 23lim 3

x x

x →==.

另解：原式ln(32sin )ln32200e [ln(32sin )ln 3]lim lim x x x x x e x x e x x

ξ+→→-+-== 0012sin 2sin 2

lim

lim 33

x x x x x x η→→===. （两次应用拉格朗日中值定理） 其中ξ在ln(32sin )ln 3x x x +与之间，η在(32sin )3x +与之间.

(1) 设12121,2,(2,3,)n n n x x x x x n --===+=，求极限1

lim n n

x →∞

. 解：将递推的数列等式12n n n x x x --=+看成是二阶常系数的齐次差分方程 其特征方程为210λλ--=，其特征根为12λλ=

=，故此差分方程的通解为1122n n n x c c λλ=+，其中12,c c 为常数，其特解可由121,2x x ==定

出,由于12lim

,lim 0n n n n λλ→∞→∞

=+∞=，所以 112211

lim lim 0n n

n n n x c c λλ→∞→∞==+. 另解：由题设条件知，对1n ∀>，0n x >，且120n n n x x x ---=>，即{}n x 严格单增，所以1212n n n n x x x x ---=+<，112n n x x ->，即有 211

2

n n x x -->， 故 211121213333()()()22

22

n n n n n n n x x x x x x ------=+>>>

>= 厦门大学第十二届“景润杯”

数学竞赛试卷（理工类）

竞赛日期 2015年5月30日

所以 1

11

0lim

lim 03()

2

n n n n x →∞→∞-≤≤=，即1lim 0n n x →∞=.

（3）设可微函数()f x 满足 0()

lim 1x f x x

→=，求

t +

→.

解：由 0

()

lim

1x f x x

→= 得(0)0,(0)1f f '==. 记

2]2f y dy f dy +=

2t

⎰

lim lim t t

t t +

+

→→=

3

3

0()()222lim lim t

u

t

t

t t t uf u du uf u du t

t π

π+

+

+

→→→===⎰⎰

20

0()()(0)lim lim (0)3333

t t tf t f t f f t t ππππ+

+

→→-'====. 二、（8分）设函数()f u 可导，且满足1()()c

af x bf x x

+=，其中,,a b c 是

常数，且||||a b ≠，求(())f f x 的导数.

解：由1()()(1)1

()()(2)

c af x bf x x

af bf x cx x ⎧

+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

, (1)(2)a b ⨯-⨯，得

22()()ac

a b f x bcx x

-=

-，即22()()()c a f x bx a b x =--

令 22()()c a u bx a b x =--，则

222()()du c a

b dx a b x

=--- [(())][()]()d f f x d f u du du

f u dx du dx dx

'=⋅=⋅

222222

()()()()c a c a

b b a b u a b x

=

--⋅---- (代入u ) 2222222222()[()]()()c a a b a a bx b b a b c x x

--=-++-. 三、（8分）设函数()f x 在[0,1]上有连续的导数，且(0)(1)0f f '==，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.

证明：构造辅助函数()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,1]上连续可导，且

()[()()]x F x e f x f x -''=-，1(0)(0),(1)(1),F f F e f -'''==-

若对(0,1),()0x F x '∀∈≠，则有下面两种情况 (i)

对(0,1),()0x F x '∀∈>，此时()

F x ，(1)(0)0F F >=，1(1)0e f ->，

从而(1)0F '<，这与1(1)lim ()0x F F x -

→''=≥矛盾， (ii) 对(0,1),()0x F x '∀∈<，此时()

F x ，(1)(0)0F F <=，1(1)0e f -<，

从而(1)0F '>，这与1(1)lim ()0x F F x -

→''=≤矛盾。 从而至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ'=. 四、（8分） 证明不等式 sin (1)(01)x

x x x ππ

>-<<

证明：设sin ()(1)(01)x

F x x x x ππ

=

--<<

()cos 21F x x x π'=+-，令()0,F x '= 解得驻点为1

0,,12

x =

2

()2sin (sin )F x x x πππππ

''=-=-，(0)(1)20F F ''''==>

1()202F π''=-<，故01x =和是()F x 的极小值点，12

x =是()F x 的极大值点。 由罗尔定理，在区间1(0,)2

上，

2()(sin )F x x πππ''=-仅有唯一的一个零点1ξ，当10x ξ<<时，()0F x ''>，当112x ξ<<时，()0F x ''<，又1(0)()02

F F ''==,