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常微分方程期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t L 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'

()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和

()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）

1、3

()0ydx x y dy -+=

２、sin cos2x x t t ''+=-

３、若

2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

试求方程组x Ax

'=的解

12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤

==⎢⎥

⎣⎦并求

expAt

４、

32(

)480dy dy

xy y dx dx -+=

５、求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近似

解

三、证明题（１０％）

１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案

一填空题

１、()

M N

y x

x N ϕ∂∂-∂∂=

()

M N

y x

y M ϕ∂∂-∂∂=-

２、

2()()()dy

p x y Q x y R x dx =++

y y z =+

３

、

()()n dy

p x y Q x y dx =+

(1)()(,)n p x dx n

u x y y e --⎰=

４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠L

５、11110

n n n n n n n d y d dy

x a a a y dx dx dx ---++++=L

６、()()t t C ψφ=

７、零 稳定中心

二计算题

１、解：因为1,1M N

y x

∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当

方程，方程有积分因子2

2

ln 2

1

()dy

y y y e

e

y μ--⎰===

，两边

同乘

2

1y 得320dx x y dy y y +-=

所以解为 32

1x x y y dx dy c y y y

⎡

⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰

22x y c y +=即

2

2()x y y c =+另外y=0也是解

２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根

i λ=±

1()sin f t t

= i λ=是特征单根，原方程有特解

(cos sin )

x t A t B t =+代入原方程A=-1

2

B=0

2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解

cos2sin 2x A t B t =+代入原方程

1

3A =

B=0

所以原方程的解为1211

cos sin cos cos223x c t c t t t t

=+-+

３、解：

22

1

()6901

4p λλλλλ--=

=-+=-解得1,23λ=此时

k=112n =

12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤

=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑

由公式

expAt= 10()!i

n t

i

i t

e A E i λλ-=-∑得

[]33310111exp (3)01111t

t

t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ４、解：方程可化为

3

2

84dy y dx x dy y dx

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

=令

dy p dx

=则有

3284p y x yp

+=

（*）

（*）两边对y 求导：322322(4)

(8)4dp

y p y p y p y p dy -+-=

即

32(4)(2)0dp p y y

p dy --=由20dp y p dy -=得1

2

p cy =即

2

()p

y c

=将y

代入（*）22

24c p x c =+即方程的 含参数形式的

通解为：222

24()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩p

为参数

又由

32

40p y -=得1

23

(4)p y =代入（*）得：3

427y x

=也是

方程的解

５、解：

002

100225

200410725118

3000

2()4220()4400202204400160x

x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=

=++=+

=++++=+++

⎰⎰⎰ 三、 证明题