闭环频率特性

arctanwc
5
19.5
当K从10变到100时, 20lgK=20lg20＝26dB, 如图中虚线所示。
40 lg wc 20 lg K 20 lg 20 w1
所以K=100时对应的剪切频率为wc 20 4.472。
相角裕度为
180 (wc ) 180 90 arctanwc
上式描述了开环频率特性和闭环频率特性之间的关系。如
果已知 GK ( jw)曲线上的一点，就可确定闭环频率特性曲线上的
一点。
一般系统的闭环频率特性如图所示
图中，M (0)为频率特性的零频幅值；wb为频率特性的带宽
频率，它是系统的幅频值为零频幅值的0.707倍时的频率，
0
w
wb
通常称为系统的频带宽度；M
L(w) v0
20db/dec(v 1)
40db/dec(v 2)
0
K
K
w
系统的稳态误差 ess与 K,v 有关。因此，根据开环对数幅频
特性的低频段可确定系统的稳态误差。
低频段的斜率越小，对应系统开环传递函数中积分环节的 数目越多，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动 态响应的的跟踪精度越高。而且，在阶跃信号输入下使 ess 0 的条件是低频段必须具有负斜率。
当 0.707 时，幅频特性单调
衰减，不存在谐振峰值。
（2）M、wr、wb 与 ts 的关系。 在带宽频率 wb处，典型二阶系统闭环频率特性的幅值为
M (wb )
wn2
0.707
(wn2 wb2 )2 (2wnwb )2
解得
wb wn 1 2 2 2 4 2 4 4
wbts
4
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1 2 2
10.5
1 wg 2 25 wg 2
dB
第七节 闭环频率特性
一、闭环频率特性及其特征量
由于系统的开环和闭环频率特性之间有着确定的关系，因 而可以通过开环频率特性求取系统闭环频率特性。对于单位反 馈系统，其闭环传递函数为
(s) GK (s) 1 GK (s)
对应的闭环频率特性为：
( jw) GK ( jw) M (w)e j (w) 1 GK ( jw)
为频率特性的谐振峰
r
值；wr为频率特性的谐振频率。
Mr
Mm M (0)
系统的频带宽度反映了系统复现输入信号的能力。频带宽 度越宽，暂态响应的速度越快，调节时间也就越短。但是，频 带宽度越宽，系统抗高频干扰的能力越低。因此，在设计系统 时，对于频带宽度的确定必须兼顾到系统的响应速度和抗高频 干扰的要求。
开环对数频率特性与时域指标
开环对数幅频特性“三频段”概念
M (w)
Mr
M (0)
0 w1 低
wr 中频
L(w)
0.707M (0)
w1
wb w2 高
w
低
wc 中频
w2 w
高
▪ 低频段
低频段通常指开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的
区段，低频段的斜率由开环传递函数中积分环节的数目v 决定，
而高度则由系统的开环放大倍数 来决K 定。
jw
)
K 1 K
1
当 v 1 时，闭环幅频特性的零频值为
M
(0)
lim
w 0
(
jw
KG0 ( jw
)v KG0
) (
jw)
1
0型系统与Ι型及Ι型以上系统的零频值的差异，反映了它们 跟随阶跃输入时稳态误差的不同，前者有稳态误差的存在，而 后者则没有稳态误差产生。
二、闭环频域指标与时域指标的关系
1、二阶系统
例1、单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
K
s(s 1)(s 5)
分别求取K=10及K =100时的相角裕度和增益裕度。
解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K =10时,
G(s)
10
5s(1 s)(1 s / 5)
转折频率ω1=1, ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。画出对数幅频特性 曲线, 如图所示。
典型二阶系统的闭环传递函数为
(s)
wn2
s2 2wns wn2
其相应的闭环频率特性为
( jw)
( jw)2
wn2 2wn ( jw) wn2
(wn2
wn2 w2)
j2wnw
（1）M 与 %的关系。
典型二阶系统的闭环幅频特性为
M (w)
wn2
(wn2 w2 )2 (2wnw)2
令
设单位反馈系统的开环传递函数为
GK
(s)
KG0 (s) sv
式中：G0 (s)不含有积分和比例环节，且 的闭环传递函数为
lim
s0
G0
(
s)
1 。则系统
(s) KG0 (s) sv KG0 (s)
当 v 0 时，闭环幅频特性的零频值为
M
(0)
lim
w0
(
jw
KG0 ( jw
)v KG0
) (
L(w)/dB 40
－20dB/dec 20
20lg K 0
0.1
K1＝10 K1＝100
wc 1
wc
5
10 w
－40dB/dec －60dB/dec
由图可知:
40 lg wc 20 lg K 20 lg 2 w1
得剪切频率 wc 2 1.414 。 相角裕度为
180 (wc ) 180 90 arctanwc
通过大量的系统研究，归纳出以下两个近似的数学关系 式，即
% 0.16 0.4(Mr 1)100%
高阶系统的 %随着Mr 的增大而增大。
ts
k wc
式中 k 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
(1 Mr 1.8) (1 M r 1.8)
调节时间 ts 随着 Mr 增大而增大，且随wc增大而减小。
arctanwc
5
29.2
求增益裕度, 则须先求出wg
90 arctan wg
arctan wg
5
180 wg
5
当K=10时
Lg 20lg A(wg ) 20lg wg
10
9.54
1 wg 2 25 wg 2
dB
当K=100时
Lg 20lg A(wg ) 20lg wg
100
2 4 2 4 4
又因为wr wn 1 2 2 ，所以有
ts
4
wr
1 2 2
由可知图，tswb 随Mr 的增加而单调增加。当 Mr 固定不变， 则调整时间ts 与带宽频率 wb 成反比。
2、高阶系统
对于高阶系统，难以找出闭环频域指标和时间指标之间 的确切关系。但如果高阶系统存在一对共轭复数闭环主导极 点，可针对二阶系统建立的关系近似采用。
dM (w) 0
dw
其谐振频率为 wr wn 1 2 2 (0 0.707)
因为当w 0时，幅频值 M (0) 1
其幅频特性峰值即谐振峰值为
1
Mr 2 1 2
(0 0.707)
由图看出，Mr 越小， %越小，即系统的阻尼性能越好。如
果谐振峰值较高，系统动态过程超调大，收敛慢，平稳性及快 速性都差。