分式线性变换

1 , 关于单位圆周的对称变换;
y
z
w , 关于实轴的对称变换
A
设C : z r,以圆心O为起点
C
r o.
.Pz
. P
x
的一条半直线上, 如果有两 点 P与 P 满足关系式:
.
OP OP' r2 ,
w 1/ z 则称这两点关于圆周对称.
规定: 无穷远点的对称点是圆心O.
,
因此
(w1, w2, w3, w4 )
w4 w3
w1 w2
一 分式线性变换及其分解
1 分式线性变换概念
(1) 函数
w az b ,
a
b ad bc 0
cz d c d
称为分式线性变换,简记为 w L(z).
(2) 在扩充z平面上补充定义
c 0, L( d ) , L() a ;
c
c
c 0, L() .
注 在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.
13
三 分式线性变换的保交比性
1定义7.4 扩充z平面上有顺序的四个相异点z1, z2, z3, z4
构成下面的量, 称为它们的交比,记为:(z1, z2, z3, z4 ).
(z1, z2 , z3, z4 )

z4 z1 z4 z2
:
z3 z1 z3 z2
1, 1 ,
zw
则 1 k 1 h,

12
即 k h
(7.8),
从而
d d
|0
h k h (h k)2
| 0

1 k

0，
故变换(7.8)在 0是保角的;
于是(I )在z=是保角的,进而在扩充z平面是保角的.
3 定理7.7 分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.
9
(1) 若c 0,则(7.7)有两个根
z1,2

(a

d) 2c
,
(d a)2 4bc
当
当


0时,
0时,
有两个相异不动点z1,
有一个二重不动点z
az2;
d
.
2c
(2) 若c 0,则(7.7)变为 (d a)z b 0,
当a d 0时,(7.7)有根 z b , 这时(7.3)为 w a z b , d a
.
注 当四点中有一点为时,包含此点的项用1代替.
如( z1 ,
z2, ,
z4 )

z4 z4

z1 z2
:1, 1
相当于z3 .
14
2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设wi

azi b czi d 则wi wj

i 1, 2,3, 4, (ad bc)(zi z j ) (czi d )(cz j d )
有不动点 z
b
d
及z
d
;
d a
10
当a d 0时, 必b 0, (否则w z为恒等变换)
不动点 z b , d a
故这时(7.3)以z 为二重不动点.
二 分式线性变换的共形
(1) 对(II ) w 1
z 只要z 0, ,则
dw dz


1 z2
0，
故(II )在z 0, 是保角的.
11
定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为 ,就是指
它们在反演变换下的像曲线在原点的交角为 .
从而(II )在扩充z平面是保角的.
(2) 对(I) w kz h
dw dz

k

0，
在z

是保角的.
对z , 像点为w ,
由定义7.3引入两个反演变换
解
w 3z 4

3 i
(iz 1)
3 i
4
iz 1
iz 1
3 3 4i (3 4i) 1 3i
i i(iz 1)
zi
因此可分解为
w z4 3i, z4 ei( ) z3
z3 3 4i z2 5z2,
z2

1 z1
,
的复合.
( arctan 4),
w ei z 旋转
即 w w 位似(伸缩)
w w h 平移
4
旋转与伸长(或缩短)变换
w ei z
(z) (w)
w
z o
平移映射 w z b
(z) (w)
w
b z
o
o
5
(II )型变换w 1 称为反演变换 z
此变换可进一步分解为:
a
c k h.
3
(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合
(I ) w kz h (k 0),
(II ) w 1 . z
(2) (I)(II)型变换的几何性质
(I )型w kz h称为整式线性变换
若k ei ( 0, R),则
w ei z h,
6
y
A
C
1
o.
.Pz
. P
x
.
w 1/ z
OPA ~ OAP OP : OA OA: OP
OP OP OA2 1
即: z 1
z 1
且, z都在过单位圆

与z关于单位
圆对称的性质.
心O的同一条直线上,
7
例1
试将线性变换 w 3z 4 分解为简单变换的复合. iz 1
2
2 分式线性变换的分解
h b ,k a
a z b d d kz h c 0,
w

az b cz d


d

a
d
bc

ad
1
c c cz d
c 0,
1
cz d a bc ad 1 c c
a bc ad
cc
h c , k bc ad
则w L(z)定义在整个扩充z平面上.Βιβλιοθήκη Baidu
(7.3),
1
(3) w L(z)将扩充z平面单叶地变成扩充w平面
w L(z)具有逆变换
z L1(w) dw b cw a
(7.4).
因w L(z)除极点外解析且单叶,从而
(4) 由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的
3
z1 z i,
8
例2 试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个 相异的或一个二重的不动点
证明 线性变换(7.3)
w az b (ad bc 0), cz d
的不动点适合
z

az

b
,
cz d
即 cz2 (d a)z b 0,
(7.7)
上面系数不全为零, 否则w z为恒等变换.