第7章 状态变量分析

实际上，电容的电压和电感的电流正 反映了电容和电感的储能状态。
一般地说，由电路直接建立状态方程 的步骤如下：
1．选择独立的电容电压和电感电流作为状 态变量；
2．对于电容C应用KCL写出该电容的电 流 关i系C 式C d；dvtC 与其它状态变量和输入变量的
3．对于电感L应用KVL写出该电感的电 压 的关vL系 L式dd；itL 与其它状态变量和输入变量
第7章 状态变量分析
7.1
状态与状态空间
7.2 连续系统状态方程的建立
7.3 连续系统状态方程的解
7.4 离散系统状态变量分析
7.5 系统的可控制性和可观测性
分析一个物理系统，首先必须建立系
统的数学模型，以便利用有效的数学工具 解决实际问题。
在系统分析中常用的系统描述方法有 输入-输出描述法和状态变量描述法两大类。
显然，上述三类通过模拟图列写状态 方程的方法均可以推广到 n 阶系统的一般 情况。
从上面的讨论可知，状态变量是可以 在系统内部选取，也可以人为地虚拟。
对于同一个系统，状态变量的选取不
同，系统的状态方程和输出方程也将不同， 但它们所描述的系统的输入-输出关系没有 改变。
容易理解，由于同一系统的特征方程 和特征根相同，各系数矩阵A是相似的(参 见附录一的F1.2)。
这时，就需要采用以系统内部变量为 基础的状态变量描述法(state variable description)，这是一种内部法。
它用状态变量描述系统内部变量的特
性，并通过状态变量将系统的输入和输出 变量联系起来，用于描述系统的外部特性。
与输入-输出描述法相比，状态变量描 述法具有以下主要优点：
前面几章讨论的信号与系统各种分析 方法属于输入-输出描述法(input-output description),又称端口分析法，也称外部法。
它强调用系统的输入、输出变量之间 的关系来描述系统的特性。
一旦系统的数学模型建立以后，就不
再关心系统内部的情况，而只考虑系统的 时间特性和频率特性对输出物理量的影响。
1 sa
其模拟图如图7.2-9(a)和(b)所示。
1
sa
a
整个系统的模拟图如图7.2-10(a)所示， 相应的信号流图如图7.2-10(b)所示。
得
x1 x1 v x2 3x2 v x3 4x3 v
x1 x2
1
0
0 3
0 0
x1 x2
1
1
v
x3 0 0 4 x3 1
这种分析法对于信号与系统基本理论
的掌握，对于较为简单系统的分析是合适 的。
其相应的数学模型是n 阶微分(或差分) 方程。
随着系统的复杂化，往往要遇到非线 性、时变、多输入、多输出系统的情况。
此外，许多情况下在研究其外部特性
的同时，还需要研究与系统内部情况有关 的问题，如复杂系统的稳定性分析，最佳 控制，最优设计等等。
y x1 x2 2x3 y 1
1
2
x1 x2
0v
x3
应该注意到，系数矩阵A是由系统的 特征根－1、－3、－4所构成的对角阵，所 以，称这种状态变量为对角线状态变量。
3. 串联模拟
由式(7.2-24c)，串联模拟图如图7.211(a)所示。
相应的信号流图如图7.2-11(b)所示。
(零输入)
(零状态)
这就是状态方程的拉氏变换解。
由式7.2-24(a),第一种直接模拟如图7.27(a)所示。
当然，也可画出相应的信号流图。
v(t) q (3) q"
4
q' q
10
8
19
12
y(t)
选取三个积分器输出为状态变量，
则有
x1 q , x2 q' , x3 q''
则状态方程为：
x1 x2
x2 x3
x3 12x1 19x2 8x3 v
根据系统的输入-输出微分方程或系统 函数可以作出系统的模拟图或信号流图。
然后依此选择每一个积分器的输出端 信号为状态变量，最后得到状态方程和输 出方程。
由于系统函数可以写成不同的形式，
所以模拟图或信号流图也可以有不同的结 构，于是状态变量也可以有不同的描述方 式，因而状态方程和输出方程也具有不同 的参数。
H (s) 1 1 2 s 1 s 3 s 4
H (s)
4
s 5 2
1
s 1 s 3 s 4
4
1 1 2
1
s 1 s 3 s 4
(7.2-24b) (7.2-24c)
故可分别画出级联、并联和串联等三 类模拟图或信号流图。
1. 级联(卡尔曼型)模型
级联模拟又称直接模拟，共有两种不 同的形式。
选取状态变量
如图,状态方程为
x1
4 x1
1 2
x2
4 x3
x2 3x2 4x3
x3 x3 v
y x1
矩阵形式为
x1 x2
4
0
1 2
3
4 4
x1 x2
0 0
v
x3
0
0
1
x3
1
y 1
0
0
x1 x2
0v
x3
应该注意到，系数矩阵A是一个上三 角矩阵。
4． 消除非状态变量(称为中间变量)；
5． 整理成状态方程和输出方程的标准形 式。
为了叙述方便，如果定义不存在全电
容回路和全电感割集的网络称为常态 （proper）网络。
否则称为非常态网络。显然常态网络 中全部的电容电压和电感电流均为状态变 量。
一般的常态网络还可以应用直流电路 的知识列写状态方程。
设已知三阶系统的微分方程为
d 3y(t) d 2 y(t) d y(t)
d v(t )
d t 3 8 d t 2 19 d t 12 y(t) 4 d t 10v(t)
则该系统的系统函数显然为
H(s)
s3
4s 10 8s2 19s 12
(7.2-24a)
当然，系统函数还可以写成如下形式
4. 状态空间(state space) 状态矢量所在的 空间称为状态空间。状态矢量所包含的状 态变量的个数就是状态空间的维数，也称 系统的复杂度阶数(order of complexity)， 简称系统的阶数。
5. 状态轨迹(state orbit) 在状态空间中， 系统在任意时刻的状态都可以用状态空间 中的一点(端点)来表示。状态矢量的端点 随时间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
本节主要讨论连续系统状态方程的建 立。
7.2.1连续系统状态方程的一般形式
连续系统的状态方程是状态变量的一 阶微分方程组，用矩阵形式来表示，为
x Ax Bv
输出方程为 y Cx Dv
上式中，系数矩阵A为 n×n方阵，称 为系统矩阵；系数矩阵B为n×m矩阵，称 为控制矩阵；系数矩阵C为r×n矩阵，称 为输出矩阵；系数矩阵D为r×m矩阵。
从实例可以得到如下结论：
1.状态变量的选取并不是唯一的，选取 不同的状态变量，状态方程的形式会改变；
2.非常态网络的状态方程可能会出现激励 的导数项，但只要改变状态变量的设置， 总能使其导数项消失，使之成为标准的状 态方程。
另外，还应该指出的是，仅有R、L、 C组成的无受控源网络总能列写出标准的 状态方程。
如果电路含有受控源，由于多了一类
约束关系，可能会使状态变量的个数(状态 矢量的维数)减少，有时，对于少数特定的 电路无法列写出标准的状态方程。
输入-输出方程和状态方程是对同一系 统的两种不同的描述方法。
两者之间必然存在着一定的联系。
由于状态变量更有利于计算机计算。
7.2.3 从模拟图建立状态方程
对于线性时不变系统，这些矩阵都是 常数矩阵。
7.2.2 由电路图建立状态方程
为建立电路的状态方程，首先要选择 状态变量，其中，电容和电感元件的VCR 在电压、电流关联参考方向下，有如下关 系，即
iC
C
dvC dt
vL
L
diL dt
可见，若选择电容的电压和电感的电
流作为状态变量很容易满足状态方程的形 式。
用状态变量来描述和分析系统的方法 称为状态变量分析法。
当已知系统的模型及激励，用状态变
量分析法时，一般分两步进行：一是选定 状态变量，并列写出用状态变量描述系统 特性的方程，一般是一阶微分(或差分)方 程组，它建立了状态变量与激励之间的关 系。
同时，还要建立有关响应与激励、状
态变量关系的输出方程，一般是一组代数 方程；二是利用系统的初始条件求取状态 方程和输出方程的解。
下面分别加以叙述。
7.3.1 状态方程的复频域解
如前所述，连续系统状态方程的 标准形式
x Ax Bv
为一阶常系数线性矢量微分方程， 输出方程的标准形式为
y Cx Dv
方程两边进行拉氏变换
sX(s) x(0 ) AX(s) BV(s) (7.3-1)
将式(7.3-1)改写为
(sI A)X(s) x(0 ) BV(s) (7.3-2)
系统的状态就是系统的过去，现在和 将来的状况。
从本质上说，系统的状态是指系统的 储能状况。
2.状态变量(state variable) 用来描述系统 状态的数目最少的一组变量。显然，状 态变量实质上反映了系统内部储能状态 的变化。
常用 x1(t) , x2 (t) , 来表示。
这组状态变量可以完全唯一地确定系 统 t>t0 任意时刻的运动状况。
和状态变量描述的方法，然后给出连续和 离散系统状态方程和输出方程的建立和求 解的方法，最后简要地讨论状态空间中系 统可控制性和可观测性的判定问题。
7.1 状态与状态空间
为了方便建立状态方程，下面先给出 连续系统状态变量分析法中常用的几个名 词的定义。
1.状态(state) 状态可理解为事物的某种特 性。状态发生变化意味着事物有了发展和 改变，所以，状态是研究事物的一类依据。
可见，建立状态方程遇到的第一个问 题是选定状态变量。
若已知电路，最习惯选取的状态变量 是电感的电流和电容的电压，因为它们直 接与系统的储能状态相联系。
但也可以选择电感中的磁链或电容上 的电荷。
甚至有时可以选用不是系统中实际存 在的物理量。
但是状态变量必须是一组独立的变量，
即所谓动态独立变量，即系统复杂度的阶 数n。
7.2 连续系统状态方程的建立
状态方程的建立主要有两大类：直接 法和间接法。
依据给定系统结构直接编写出系统的 状态方程。
这种方法直观，有很强的规律性，特 别适用于电网络的分析计算。
间接法常利用系统的输入-输出方程、 系统模拟图或信号流图编写状态方程。
这种方法常用于系统模拟和系统控制 的分析设计。
这种所谓“完全”表示反映了系统的
全部状况，“最少”表示确定系统的状态 没有多余的信息。
3.状态矢量(state vector)能够完全描述一个 系统行为的 n 个状态变量，可以看成一个 矢量的各个分量的坐标，此时矢量称为状 态矢量，并可写成矩阵的形式
x(t) x1 (t),x2 (t),T (7.1-1)
(1) 可以有效地提供系统内部的信息，使 人们较为容易地处理那些与系统内部情况 有关的分析、设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不 变的单输入-单输出系统特性的描述，也适 用于非线性、时变、多输入、多输出系统 特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的 分析计算。
本章首先介绍状态和状态空间的概念
当系统的输入和输出都不止一个时，
情况稍微复杂一些，但只要分别画出其相 应的模拟图或信号流图，按照上述方法仍 然能方便地列写出状态方程和输出方程。
7.3 连续系统状态方程的解
前面已经讨论了连续系统状态方程和 输出方程的建立方法。
接下来的问题是如何求解这些方程。
一般来说，求解状态方程仍然有两种 方法：一种基于拉普拉斯变换的复频域求 解；另一种是采用时域法求解。
式中，I为n×n单位矩阵。 为了方便，定义：分解矩阵
(s) (sI A)1
(7.3-3)
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分解矩阵(resolvent matrix)是一个由 系统参数A完全决定了的矩阵。
它在状态方程的求解过程中起着非常 重要的作用。
这时式(7.3-2)可表示为
X(s) Φ(s)x(0 ) Φ(s)BV(s)
写成矩阵形式，状态方程为
x1 x2
0 0
1 0
0 1
x1 x2
0 0
v
x3 12 19 8 x3 1
输出方程为：
y 10x1 4x2
矩阵形式为：
y 10
4
0
x1 x2
0v
x3
第二种直接模拟如图7.2-8(a)所示。
2. 并联模拟
由式(7.2-24b)，可知此复杂系统可以 用三个简单的子系统的并联来表示，其中， 每一个简单子系统的系统函数为