教学课件234中位线华东师大版

猜想四边形 EFGH的形状并证明。
A H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
证明：如图，连接 AC
G
∵? EFE是F △//AB1CA的C 中位线
同理得：
2
GH //
1 AC
2
C
? GH // EF
∴四边形 EFGH 是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且点A、C、E在l1 上， B、D、F在l2上，则 AB 、CD 、EF 的长短相等吗？为什
么？
EC
A
l1
l2
F
D
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且CD等于AB的 一半。E是BC的中点,DE交AC于点F , 求证 : DE被AC平 分.
D
E
D
中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点
。
想一想
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系?
A
D
E
B
C
DE和边BC关系
位置关系： 数量关系：
6
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角形的 周长与原 三角形的 周长有什么关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的 面积与原三角形的 面积有什么关 系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（ห้องสมุดไป่ตู้点）
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ ABC中,AD=DB ，BE=EC ，AF=FC.
一条直线上的任一点 到另一条直线的距离 ，叫做这 两条平行线间的距离。
E
C
A
l1
它与点与点的距离、点到 直线的距离的联系与区别
∟∟
FD
∟
l2
B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、CD、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为 B、D、F，则AB、CD、EF的长短相等吗？为什
么？
平行线间的距离处处相等
第23单元 图形的相似
中位线
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友， 要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比
A
A M
N
B
其中的道理是 :
连结 A、B,
∵MN是△ ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中 点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 、DA的中点.
AB、BC、CD
平行线间的距离处处相等
DE∥BC
1
DE= BC.
2
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点.
则有： DE∥BC,
1
DE= BC.
A
2
D
E
B
C
D B
解题分析 2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ ADE ≌△ CFE ，
得CF=AD , CF//AB
又可得CF=BD,CF//BD
A
所以四边形 BCFD是平行四边形
求证： AE与DF互相平分 .
证明:连接DE、EF，因为
A
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半）。
D
F 同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
B
E
因此AE、DF互相平分。（平行四边形的对角
C 线互相平分）
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开 ,在没有任何测 量工具的情况下 ,小明通过学习 ,估测出了 A,B 两地之间的距离 :先在AB外选一点 C,然后步测 出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知 C 道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗 ?
AC、BC的中点
①③若∠ACA=DE4=c6m5,°BC，=则6c∠mB，= AB=度8，cm为，6什5 么？ ②④若若则B△△C=AD8BEcCmF，的的则周周D长长E=为=_2_4_，__9△c_cmmD，E4为F的什周么长？是_____ 12
⑤图中有 ____3_ 个平行四边形
⑥若△ ABC的面积为 24，△ DEF的面积是 _____
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝ MN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平 行线间的距离
1
∴DE∥BC且DE= BC 2
A
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D B
E ∵DE是△ABC的中位线（或 AD=BD,AE=CE)
C ? DE // 1 BC
2
途 用 ① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的 两倍或一半
初试身手
A
D
E
B
F
练练习习11.如.如图图，，在在△A△BAC中BC，中D、，ED分、别E是、AFB分、A别C是的中AB点、
巩固练习 1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、
BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC 和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
C
B
课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上,且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E是AB的中点,连接EF,求证:EF 是△ABD的中位线.
则有DE//BC,DE= 1 DF= 1 BC
E
2
2
F
C
解题分析 3.
证明：延长 DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF ∵AE=EC
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC
1
又DE= DF2