北师大版高中数学(必修1)2.2《对函数的进一步认识》PPT课件

2020年10月2日
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(2)方法一：设 t＝1x， 则 x＝1t (t≠0)， 代入 f(1x)＝1－xx2，
1 得 f(t)＝1－t(1t )2＝t2－t 1， 故 f(x)＝x2－x 1(x≠0).
1 方法二：∵f(1x)＝1－x x2＝(1x)2x－1， ∴f(x)＝x2－x 1(x≠0).
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1.函数的表示法
列表 法
图象
用 表格 的形式表示两个变量函之数间 关系
图象
的方函法数
对应关系
用解析式 把两个变量间的
解析表达式
关系表示出来
法
2.分段函数
的方法
解在析函数一的个定义函域数内的，如果对于自变可量以x的用不自同取变值量范的围，有着
不同法的对(应简关称系，那么这样)的表函示数出通来常的叫做方分法段函数.
图1
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图2
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(3)函数 y＝1x (0<x<1) 的图象如图 3. x (x≥1)
图3
(1)图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、 对应关系为依据，采用列表、描点法作图.当已知式是一次或二次式时，可借 助一次函数或二次函数的图象帮助作图.
(2)作图象时，应标出一些关键点.例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点，还是空心点.
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x). 【思路点拨】 (1)(2)小题可以用换元法或配凑法，求a，b，c，利用条件
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【解析】 (1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)令 x＋1＝t，则 t≥1.即 x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). (3)∵f(0)＝c＝0， ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c ＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b， f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
母“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数关 系，此即为所求函数解析式.但在利用这种方法时要注意自变量的取值范围的 变化情况，否则就得不到正确的表达式.
(3)中解法称为待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设 出其函数解析式，只要想法确定其系数即可求出结果.
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2.2 函数的表示法
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1.两个函数相同是指它们的 定义域 相同，且 对应关系 完全一致.
2.在函数定义域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一确定的 f(x)与之对应.这可概述为： 存在性 和 唯一性 .
3.
f(x)
2x3 7x的定义域为
3 2
,7
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1.求下列函数的解析式：
(1)已知 f(2x＋1)＝x2＋1，求 f(x)； (2)已知 f(1x)＝1－xx2，求 f(x). (3)已知函数 φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中 f(x)是 x 的正比例函数，g(x)是 x 的 反比例函数，且 φ(13)＝16，φ(1)＝8，求 φ(x)的解析式. 【解析】 (1)设 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝(t－2 1)2＋1. 从而 f(x)＝(x－2 1)2＋1.
(3)先求定义域，在定义域上化简函数式 y＝xx2－－1x＝x，x∈(－∞，1)∪(1， ＋∞).其图象如下：
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求分段函数的函数值
x＋1 已知 f(x)＝
0
(x＞0) (x＝0) ， (x＜0)
求 f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1))).
【思路点拨】 求f(x)的解析式 → 令x＝－1求f(－1) → f(f(－1)) → f(f(f(－1)))
∴2a＋ a＋bb＝＝1b，＋1，
ab＝ ＝1212， .
∴f(x)＝12x2＋12x.
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(1)中解法为直接变换法或称为配凑法，通过观察、分析， 将右端“x2－3x＋2”变为接受对象“x＋1”的表达式，即变为含(x＋1)的表 达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求.
(2)中解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象 “ ＋x 1“换作另一个字
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【解析】 ∵－1＜0，∴f(－1)＝0， ∴f(f(－1))＝f(0) π ，∴f(f(f(－1)))＝f( π )
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每个函数都可以用列表法、图象法、解析式法三种形式表示吗？ 【提示】 不一定，如函数y＝x，x∈R，就无法用列表法表示.
2020年10月2日ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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求函数解析式
求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f( x ＋1)＝x＋2 x ，求f(x)；
1 (3)y＝x
(0<x<1)
；
x (x≥1)
【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找到 一些关键点，便可画出函数的大致图象.
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【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
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2.作出下列函数的图象.
(1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； (3)y＝xx2－－1x. 【解析】 (1)此函数图象是直线y＝x的一部分.
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(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些 点都在直线y＝1－x上.(这样的点叫做整点)
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(3)可设 f(x)＝kx，g(x)＝mx (k≠0，m≠0)， 则 φ(x)＝kx＋mx . 由 φ(13)＝16，φ(1)＝8， 得 13k＋3m＝16，
k＋m＝8，
∴km＝＝35，. ∴φ(x)＝3x＋5x.
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作函数的图象
作出下列函数的图象.
(1)y＝1x，(x>1)； (2)y＝x2－4x＋3，x∈［1,3］；