极差方差与标准差
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极差＝最大值－最小值
在生活中，我们常常会和极差打交 道．班级里个子最高的学生比个子最矮的学 生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最 小的孩子大多少？这些都是求极差的例子．
例1.（口答）求下列各题的极差。 （1）某班个子最高的学生身高为1.70米，个 子最矮的学生的身高为1.38米，求该班所有 学生身高的极差。
思考:
什么样的数能反映一组数据与其平 均值的离散程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S2
1 n
[(x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2 ]
其中 S 2表示一组数据的方差，
x 表示一组数据的平均数，
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
环数
直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩
相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来 考察这两组数据.例如:在作统计图,表时提到过的极 差.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息. 显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可 以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的 统计策略.
§10.7 极差、均值、 方差与标准差
前面几节课我们学了选择合适的图表 进行数据的处理，而且我们在7年级时还 学会了去分析或描述一组数据。那么我 们当时是如何来描述和分析一组数据的 呢？
我们可以选用这些数据的代表： 平均数、中位数、众数。
问题1 :
表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和
2002年同期的每日最高气温，如何对这两段
哪个小组学生的成绩比较整齐？
x1、x2、… xn表示各个数据．
注：一组数据的方差越大，说明这组 数据波动越大。
从方差的计算过程，可以看出:
S 2的数量单位与原数据的数量单位不
一致了，因此在实际应用时常将求出的方差 再开平方，这就是标准差
（standard deviation）．
标准差 方差
方差 标准差2
小结： 1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差
标准差（standard deviation）．
S
1 n
[( x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2
]
例2.甲、乙两个小组各10名学生的英语口 语测验成绩如下：（单位：分） 甲组 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙组 82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
时间Βιβλιοθήκη Baidu气温进行比较呢?
表 20.2.1 上海每日最高气温统计表 （单位：℃）
这段时间的 平均气温
2001年
2002年
最高气温 最低气温 变化范围
将观察结果添入表格
思 考 ： 什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
我们可以用一组数据中的最大值减去最 小值所得的差来反映这组数据的变化范围。
用这种方法得到的差称为极差（range）．
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是
x1,
x2,... xn , x 表示这组数据的平均数
。x
到
i
x
的距离是
：
xi x (i 1,2,, n).
如果一组数据与其平均值的离散程度较 小，我们就说它比较稳定．
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是
平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因
为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极
端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难
以概括样本数据的实际状态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各
射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
（2）小明家中，年纪最大的长辈的年龄是78 岁，年纪最小的孩子的年龄是9岁，求小明家 中所有成员年龄的极差。
思考:哪个城市 四季分明?
问题2：小明和小兵两人参加体育项目训
练，近期的五次测试成绩如表20.2.2所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？
表 20.2.2
姓 名平 均 分 小明 小兵
2.标准差
来反映这组数据的变化范围。用这种方法得到的差称
为极差（range）
即：极差＝最大值－最小值
x 2.方差:在一组数据x1,x2,……,xn中，各数据与它们
的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
方差（variance）
S2
1 n [(x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2 ]
3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲
7，x 乙
7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗?
频率
0.3
0.2
0.1 频率
4 5 6 7 8 9 10
环数
(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1
在生活中，我们常常会和极差打交 道．班级里个子最高的学生比个子最矮的学 生高多少？家庭中年纪最大的长辈比年纪最 小的孩子大多少？这些都是求极差的例子．
例1.（口答）求下列各题的极差。 （1）某班个子最高的学生身高为1.70米，个 子最矮的学生的身高为1.38米，求该班所有 学生身高的极差。
思考:
什么样的数能反映一组数据与其平 均值的离散程度？
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
情况．这个结果通常称为方差（variance）．
方差的计算式就是
S2
1 n
[(x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2 ]
其中 S 2表示一组数据的方差，
x 表示一组数据的平均数，
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
环数
直观上看,还是有差异的.如:甲成绩比较分散,乙成绩
相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来 考察这两组数据.例如:在作统计图,表时提到过的极 差.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度, 与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息. 显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可 以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的 统计策略.
§10.7 极差、均值、 方差与标准差
前面几节课我们学了选择合适的图表 进行数据的处理，而且我们在7年级时还 学会了去分析或描述一组数据。那么我 们当时是如何来描述和分析一组数据的 呢？
我们可以选用这些数据的代表： 平均数、中位数、众数。
问题1 :
表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和
2002年同期的每日最高气温，如何对这两段
哪个小组学生的成绩比较整齐？
x1、x2、… xn表示各个数据．
注：一组数据的方差越大，说明这组 数据波动越大。
从方差的计算过程，可以看出:
S 2的数量单位与原数据的数量单位不
一致了，因此在实际应用时常将求出的方差 再开平方，这就是标准差
（standard deviation）．
标准差 方差
方差 标准差2
小结： 1.极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差
标准差（standard deviation）．
S
1 n
[( x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2
]
例2.甲、乙两个小组各10名学生的英语口 语测验成绩如下：（单位：分） 甲组 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83
乙组 82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
时间Βιβλιοθήκη Baidu气温进行比较呢?
表 20.2.1 上海每日最高气温统计表 （单位：℃）
这段时间的 平均气温
2001年
2002年
最高气温 最低气温 变化范围
将观察结果添入表格
思 考 ： 什么样的指标可以反映一组数据 变化范围的大小？
我们可以用一组数据中的最大值减去最 小值所得的差来反映这组数据的变化范围。
用这种方法得到的差称为极差（range）．
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是
x1,
x2,... xn , x 表示这组数据的平均数
。x
到
i
x
的距离是
：
xi x (i 1,2,, n).
如果一组数据与其平均值的离散程度较 小，我们就说它比较稳定．
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是
平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因
为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极
端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难
以概括样本数据的实际状态．
如：有两位射击运动员在一次射击测试中各
射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７ ８ ７ ９ ５ ４ ９ １０ ７ ４
（2）小明家中，年纪最大的长辈的年龄是78 岁，年纪最小的孩子的年龄是9岁，求小明家 中所有成员年龄的极差。
思考:哪个城市 四季分明?
问题2：小明和小兵两人参加体育项目训
练，近期的五次测试成绩如表20.2.2所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？
表 20.2.2
姓 名平 均 分 小明 小兵
2.标准差
来反映这组数据的变化范围。用这种方法得到的差称
为极差（range）
即：极差＝最大值－最小值
x 2.方差:在一组数据x1,x2,……,xn中，各数据与它们
的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据的
方差（variance）
S2
1 n [(x1
x)2
(x2
x)2
...
(xn
x)2 ]
3.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的
乙：９ ５ ７ ８ ７ ６ ８ ６ ７ ７
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?
如果看两人本次射击的平均成绩,由于x甲
7，x 乙
7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗?
频率
0.3
0.2
0.1 频率
4 5 6 7 8 9 10
环数
(甲)
0.4 0.3 0.2 0.1