2014六年级我爱数学杯
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解因为前50条斜线，每一条都比前一条多写填一个数，所以前50条斜线上的数有
1＋2＋3＋…＋50＝1275
个数，即1275填在第1行，第50列；1276填在第50行，第2列。
填到自然数2014还需要填2014－1275＝739个数。由于以后的50条斜线上都写50个数，而
739÷50＝14……39，
所以，自然数1275＋50×14＝1975应填在第1行，第64 (＝50＋14) 列上，而自然数1976应填在第50行，第16 (＝2＋14) 列上。
2828× ＝7171× 。
将2828和7171质因数分解：
2828＝22×7×101， 7171＝71×101，
可知2828与7171的最大公因数为101，将2828和7171同时分解为一个两位数和一个公因数之积，只有：
2828＝28×101， 7171＝71×101，
所以
28×101× ＝71×101× ，
千米。
解由于甲、乙两车的速度比为4:5，可知在计划相遇过程中，甲车行驶了全程的
＝ 。
另一方面，雨后甲、乙两车的速度比变为
4×(1－25%):5×(1－20%)＝3:4，
从而知，在实际相遇的过程中，甲车行驶了全程的
＝ 。
因为C，D两地相距5千米，所以，A，B两地相距
5÷( － )＝315千米。
10．(11分) 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占A堆的 ，B中黑子占B堆的 ，那么，要从B堆中拿到A堆个黑子，个白子。
即
28× ＝71× ，
要使等式成立，则只有 ＝71， ＝28，从而得
× ＝71×28＝1988。
8．(10分) 在下图中，包含“★”的长方形共有
个。
解由于图形不规则，我们只有将各种形状的长方形列表计数：
形状
1×1
2×1
1×2
3×1
1×3
2×2
4×1
1×4
5×1
1×5
6×1
个数
1
1
1
1
1
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0
0
0
0
形状
剩下的数可列表找规律：
自然数
1976
1977
1978
…
2014
行 数
50
49
48
…
12
列 数
16
17
18
…
54
所以，自然数2014填在第12行，第54列。
2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案
1． 。2．100223。3．320144。
123×(B－C)＝C－50，
要使被除数A尽可能小，即要使A被124除所得的商C尽可能小。当B＝C时，C最小可取50，所以，A最小可取124×50＋29＝6229。
6．(10分) 设A是一个自然数，如果A满足：
＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ，
那么，自然数A＝。
解比较分数的大小。因为
＋ ＋ ＋…＋ ＜ ×19＝ ，
4．(9分) 设A为自然数，如果2014＋A是一个立方数，那么，A最小可以是。
解此题是一个估值的题。因为123＝1728＜2014，133＝2197＞2014，所以，自然数A最小为2197－2014＝183。
5．(10分) 如果自然数A被123除余79，被124除余29，那么，自然数A最小可以是。
解设A＝123×B＋79＝124×C＋29，因为同一个数被两个自然数除，除数大则商小，所以可知B≥C。将上式变形得
从而有
S△AOC＋S△COE＝S△ACE＝ S△ABC，
S△COD＋S△BOC＝S△BCD＝ S△ABC，
即3＋x＝ S，2＋4x＝ S，可得S＝30。
12．(12分) 如上右图是一50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数 (如自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014填在第行，第列。
解(1) 我们先从B堆中拿150个黑子到A堆，此时A堆中有黑子和白子都为500个，满足A堆黑子占一半的条件。以后只要从B堆中拿出的黑子个数与白子个数相等，那么，A堆中黑子与白子各半的条件都能满足。
(2) 此时B堆中有黑子400－150＝250个，白子100个。黑子与白子的个数之差为250－100＝150，只要再从B堆拿到A堆的黑子与白子数是相同的，不论个数多少，它们的差仍为150个。而对于B堆，要求黑子3份，白子1份，所以其差为2份，每份为75个。所以，最后B堆中剩下黑子75×3＝225个，白子75个，所以还需要从B堆各拿25个黑子和白子到A堆。
2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案
注意：本试共12题，全卷满分120分。
1．(8分) 计算： ＋ ＋ ＋…＋ ＝。
解原式＝ ×( ＋ ＋ ＋…＋ )
＝ ×( － ＋ － …＋ － )
＝ ×( － )＝ ×( － )＝ 。
2．(8分) 计算：2013×2014×2015÷(6×95×143)＝。
3×2
2×3
4×2
2×4
3×3
5×2
2×5
4×3
3×4
5×3
个数
4
4
2
2
3
1
1
2
1
1
共29个。
9．(11分) 已知甲、乙两车的速度比为4:5，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，计划在C地相遇。由于下雨，甲车的速度减少了25%，乙车的速度减少了20%，结果两车相遇在D地。如果C，D两地相距5千米，那么，A，B两地相距
解原式＝(3×11×61)×(2×19×53)×(5×13×31)×÷(2×3×5×19×11×13)
＝61×53×31＝100223。
3．(9分) 如果六位数 能够被88整除，那么，这个六位数 ＝。
解由于六位数 能够被88＝11×8整除，即必须同时能够被11和8整除。要被8整除，则要求末三位被8整除，从而可知B＝4；再根据被11整除可知A＝3。所以，这个六位数为320144。
(3) 综合上面分析，要满足题中的条件，要从B堆拿到A堆175个黑子，25
个白子。
11．(12分) 如下左图所示，在△ABC中，AE与BD交于O点，AC＝3AD，BC＝4EC。如果△AOD的面积为1，那么，△ABC的面积等于30。
解连结OC，设S△ABC＝S，S△COE＝x。由题中条件知：S△AOC＝3，S△COD＝2，S△BOE＝3x，
又
＋ ＋ ＋…＋ ＞ ×19＞ ×19＝ ，
所以
＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ，
得A＝107。
7．(10分) 在乘法算式
29× ＝72×
中，不同汉字代表不同的非零数字，相同汉字代表相同的非零数字。要使得算式成立，那么， × ＝。
解由位值原理可知：
29×( ＋ 竞赛)＝72×( ＋ )，
2900× ＋29× ＝7200× ＋72× ，
1＋2＋3＋…＋50＝1275
个数，即1275填在第1行，第50列；1276填在第50行，第2列。
填到自然数2014还需要填2014－1275＝739个数。由于以后的50条斜线上都写50个数，而
739÷50＝14……39，
所以，自然数1275＋50×14＝1975应填在第1行，第64 (＝50＋14) 列上，而自然数1976应填在第50行，第16 (＝2＋14) 列上。
2828× ＝7171× 。
将2828和7171质因数分解：
2828＝22×7×101， 7171＝71×101，
可知2828与7171的最大公因数为101，将2828和7171同时分解为一个两位数和一个公因数之积，只有：
2828＝28×101， 7171＝71×101，
所以
28×101× ＝71×101× ，
千米。
解由于甲、乙两车的速度比为4:5，可知在计划相遇过程中，甲车行驶了全程的
＝ 。
另一方面，雨后甲、乙两车的速度比变为
4×(1－25%):5×(1－20%)＝3:4，
从而知，在实际相遇的过程中，甲车行驶了全程的
＝ 。
因为C，D两地相距5千米，所以，A，B两地相距
5÷( － )＝315千米。
10．(11分) 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占A堆的 ，B中黑子占B堆的 ，那么，要从B堆中拿到A堆个黑子，个白子。
即
28× ＝71× ，
要使等式成立，则只有 ＝71， ＝28，从而得
× ＝71×28＝1988。
8．(10分) 在下图中，包含“★”的长方形共有
个。
解由于图形不规则，我们只有将各种形状的长方形列表计数：
形状
1×1
2×1
1×2
3×1
1×3
2×2
4×1
1×4
5×1
1×5
6×1
个数
1
1
1
1
1
3ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
0
0
0
0
形状
剩下的数可列表找规律：
自然数
1976
1977
1978
…
2014
行 数
50
49
48
…
12
列 数
16
17
18
…
54
所以，自然数2014填在第12行，第54列。
2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案
1． 。2．100223。3．320144。
123×(B－C)＝C－50，
要使被除数A尽可能小，即要使A被124除所得的商C尽可能小。当B＝C时，C最小可取50，所以，A最小可取124×50＋29＝6229。
6．(10分) 设A是一个自然数，如果A满足：
＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ，
那么，自然数A＝。
解比较分数的大小。因为
＋ ＋ ＋…＋ ＜ ×19＝ ，
4．(9分) 设A为自然数，如果2014＋A是一个立方数，那么，A最小可以是。
解此题是一个估值的题。因为123＝1728＜2014，133＝2197＞2014，所以，自然数A最小为2197－2014＝183。
5．(10分) 如果自然数A被123除余79，被124除余29，那么，自然数A最小可以是。
解设A＝123×B＋79＝124×C＋29，因为同一个数被两个自然数除，除数大则商小，所以可知B≥C。将上式变形得
从而有
S△AOC＋S△COE＝S△ACE＝ S△ABC，
S△COD＋S△BOC＝S△BCD＝ S△ABC，
即3＋x＝ S，2＋4x＝ S，可得S＝30。
12．(12分) 如上右图是一50行和100列的表，如果按斜线依次填入自然数 (如自然数14在第2行，第4列)。那么，自然数2014填在第行，第列。
解(1) 我们先从B堆中拿150个黑子到A堆，此时A堆中有黑子和白子都为500个，满足A堆黑子占一半的条件。以后只要从B堆中拿出的黑子个数与白子个数相等，那么，A堆中黑子与白子各半的条件都能满足。
(2) 此时B堆中有黑子400－150＝250个，白子100个。黑子与白子的个数之差为250－100＝150，只要再从B堆拿到A堆的黑子与白子数是相同的，不论个数多少，它们的差仍为150个。而对于B堆，要求黑子3份，白子1份，所以其差为2份，每份为75个。所以，最后B堆中剩下黑子75×3＝225个，白子75个，所以还需要从B堆各拿25个黑子和白子到A堆。
2014年“我爱数学”六年级数学竞赛卷
参考答案
注意：本试共12题，全卷满分120分。
1．(8分) 计算： ＋ ＋ ＋…＋ ＝。
解原式＝ ×( ＋ ＋ ＋…＋ )
＝ ×( － ＋ － …＋ － )
＝ ×( － )＝ ×( － )＝ 。
2．(8分) 计算：2013×2014×2015÷(6×95×143)＝。
3×2
2×3
4×2
2×4
3×3
5×2
2×5
4×3
3×4
5×3
个数
4
4
2
2
3
1
1
2
1
1
共29个。
9．(11分) 已知甲、乙两车的速度比为4:5，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，计划在C地相遇。由于下雨，甲车的速度减少了25%，乙车的速度减少了20%，结果两车相遇在D地。如果C，D两地相距5千米，那么，A，B两地相距
解原式＝(3×11×61)×(2×19×53)×(5×13×31)×÷(2×3×5×19×11×13)
＝61×53×31＝100223。
3．(9分) 如果六位数 能够被88整除，那么，这个六位数 ＝。
解由于六位数 能够被88＝11×8整除，即必须同时能够被11和8整除。要被8整除，则要求末三位被8整除，从而可知B＝4；再根据被11整除可知A＝3。所以，这个六位数为320144。
(3) 综合上面分析，要满足题中的条件，要从B堆拿到A堆175个黑子，25
个白子。
11．(12分) 如下左图所示，在△ABC中，AE与BD交于O点，AC＝3AD，BC＝4EC。如果△AOD的面积为1，那么，△ABC的面积等于30。
解连结OC，设S△ABC＝S，S△COE＝x。由题中条件知：S△AOC＝3，S△COD＝2，S△BOE＝3x，
又
＋ ＋ ＋…＋ ＞ ×19＞ ×19＝ ，
所以
＜ ＋ ＋ ＋…＋ ＜ ，
得A＝107。
7．(10分) 在乘法算式
29× ＝72×
中，不同汉字代表不同的非零数字，相同汉字代表相同的非零数字。要使得算式成立，那么， × ＝。
解由位值原理可知：
29×( ＋ 竞赛)＝72×( ＋ )，
2900× ＋29× ＝7200× ＋72× ，