实验一离散傅里叶变换的性质

数字信号处理

实验报告

实验日期：2011.12.11

姓名：公飞杜志广

学号：090220107 090220106

哈尔滨工业大学（威海）

实验一 离散傅里叶变换的性质

一、 实验目的

1、 掌握离散傅里叶变换的性质，包括线性特性、时移特性、频移特性、对称性和循环卷积等性质；

2、 通过编程验证傅里叶变换的性质，加强对傅里叶变换性质的认识。 二、 实验原理和方法 1. 线性特性

1212DFT[()()]()()

ax n bx n aX k bX k +=+

2. 时移特性

DFT[()]()DFT[()]()km km x n m W X k x n m W X k -+=-= 3. 频移特性

()()nl

N IDFT X k l IDFT X k W +=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

4. 对称性

设由x(n)开拓成的周期序列为 ()

p x n

则

()()()

p pe po x n x n x n =+

偶序列

()()()*

12pe p p x n x n x N n ⎡⎤=+-⎣⎦ 奇序列()()()*12po p p x n x n x N n ⎡⎤=

--⎣⎦

将

()

pe x n 和

()

po x n 截取主周期，分别得 ()()()

pet pe N x n x n R n =

()()()p o t p o N x n

x n R n = 则

()()()()()

p N pet pot x n x n R n x n x n ==+

x(n)序列的实部和虚部的离散立叶变换

(){}

()Re pet DFT x n X k =⎡⎤⎣⎦ (){}

()

Im pot DFT j x n X k =⎡⎤⎣⎦

[][]

()()()()()()()()()()()arg ()arg ()R R R I I I X k X k X N k X k X k X N k X k X k X N k X k X N k X k X k *=-=-=-=-=--=--=-=--

5. 循环卷积

()3123121

()()()()()x n x n x n X k X k X k N =⇒=

⊗

有限长序列线性卷积与循环卷积的关系

X1(n)和x2(n)的线性卷积：

1131

2

1

2

()()()()()N m m x n x m x n m x m x n m -∞=-∞

==

-=-∑∑1

1

2

()()

N m x m x n m -==-∑

将X1(n)和x2(n)开拓成以N 为周期的周期序列

11

()()

p r x n x n rN ∞

=-∞

=

+∑

22

()()

p q x n x n qN ∞

=-∞

=

+∑

则它们的周期卷积为

1

4120()()()N p p p m x n x m x n m -==-∑1

120

()()N p m x m x n m -==-∑1120()()

N m q x m x n m qN -∞

==-∞

=-+∑∑

1120()()N q m x m x n qN m ∞

-=-∞=⎡⎤

=+-⎢⎥⎣⎦∑∑3()q x n qN ∞

=-∞

=+∑ X1(n)和x2(n)周期开拓后的周期卷积等于他们的线性卷积的的周期开拓。 三、 实验内容和步骤

任取长度为N=8的随机实序列x1[n]，x2[n]，例如x1[n]=[1 3 5 3 6 8 3 9]，x2[n]=[2 4 3 6 7 9 0 2 ]，和长度为N=8的随机复序列x3[n]，x4[n]，例如x3[n]=[1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+j 8+2j 3+3j 9+2j]，x4[n]=[4+1j 6+4j 4+3j 3+4j 7+j 8+3j 3+4j 1+2j]，采用MATLAB 编程验证傅里叶变换的如下性质 1. 线性特性

a ． 给出序列x1[n]的傅里叶变换X1[k]，并画出其幅度谱和相位谱

b ． 给出序列x2[n]的傅里叶变换X2[k] ，并画出其幅度谱和相位谱

c ． 给出序列Z=2*X1[k]+6*x2[k],并与序列2*x3[n]+6*x4[n]的傅里叶变换比较

程序：

x1 = [ 1 3 5 3 6 8 3 9];

x2 = [ 2 4 3 6 7 9 0 2];

x3 =[1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+1j 8+2j 3+3j 9+2j];

x4 =[4+1j 6+4j 4+3j 3+4j 7+1j 8+3j 3+4j 1+2j];

X1 = fft( x1, 8 );

X2 = fft( x2, 8 );

x_axis = [ 0: 1: 7 ];

figure(1);

subplot(2,2,1);

stem( x_axis, abs(X1) );

title( 'X1的幅度谱' );

subplot(2,2,2);

stem( x_axis, angle(X1) );

title( 'X1的相位谱' );

subplot(2,2,3);

stem( x_axis, abs(X2), 'r*' );

title( 'X2的幅度谱' );

subplot(2,2,4);

stem( x_axis, angle(X2), 'r*' );

title( 'X2的相位谱' );

sum1 = 2*x1+ 6*x2;