岩石强度理论
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主应力表达的mohr强度准则
5.4.3 Mohr强度理论
c) 双曲线型： 表达式： （强度条件）
t tan2 1 t t
2 2
式中：φ1—为包络线渐进线夹角
1 tan1 2 c 3 t
灰岩、花岗岩等坚硬岩石强度包络 线近似于双曲线
③最大剪应力理论与岩石试验结果不符
σ1－σ3≤[σ]
a.最大剪应力理论破坏面与σ1 的夹角为45°； 而岩石破坏面与σ1 的夹角为45°－φ/2。
b.最大剪应力理论破坏面上剪应力最大；
而岩石破坏面上剪应力不是最大。
5.4.2 Coulomb强度准则
库仑（1773年）提出的“摩擦”准则 观点：
①岩石破坏主要为剪切破坏；
5.4.3 Mohr强度理论
b) 二次抛物线型：
表达式： 2 n( t ) 式中：σt—单向抗拉强度
n—待定系数
由图：N 点坐标及NM半径为
1 1 3 cot 2 2 1 1 2 2 sin 2
N
岩性较坚硬到较弱的岩石，如泥灰岩、砂岩、 泥页岩等强度包络线近似于二次抛物线
5.4.1 强度理论概述
古典强度理论与岩石强度表现不符：
①最大拉应力理论没有考虑σ2 和σ3 的影响。
1
b
nb
②最大伸长线应变理论虽考虑σ2 和σ3 的影响，但 多向拉比单向拉安全，与事实矛盾。
1 ( 2 3 )
b
nb
5.4.1 强度理论概述
②岩石抗剪切能力由两部分组成（岩石本身的内聚 力、剪切面上法向力产生的内摩擦力）。 ③强度准则形式－直线型：
c tan
τ为剪切面上的剪应力（剪切强度）；σ为剪切面上 的正应力；c为粘结力（或内聚力）；φ为内摩擦角
5.4.2 Coulomb强度准则
2θ
库仑准则可由 AL 直线表示
任意斜截面上应力为：
剪切面的正应力σ>0，得 出σ1>σc/2
5.4.2 Coulomb强度准则
应用： ①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 45 0 ）； 2 （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。 ③进行岩石强度计算。
评价： ①是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。 ② 不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。 ③不适用于受拉破坏。
2 2 2 m
（1）代入（2）得：( m )2 2 4 m t (3)
5.4.4 Griffith强度理论
( m )2 2 4 m t (3)
（3）式是满足强度判据的极限莫尔应力圆的表达式 （3）式对 m 求导得
2( m ) 4 t m 2 t (4)
( 1 3 ) 2 8 t ( 1 3 3 0) 1 3 ( 1 3 3 0) 3 t
5.4.4 Griffith强度理论
1）基本假设（观点）： ①物体内随机分布许多裂隙； ②所有裂隙都张开、贯通、独立； ③裂隙断面呈扁平椭圆状态； ④在任何应力状态下，裂隙尖端产生拉应力集 中，导致裂隙沿某个有利方向进一步扩展。 ⑤最终在本质上都是拉应力引起岩石破坏。
2
0 Griffith强度准则第二式写成 又设 1 3 3 ，则
(1 3 )2 (2 m ) 2 2 8 t 8 t m 4 m t (1) 1 3 (2 m )
应力圆方程： (
m ) (2)
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔包络线的三种形式：
（不同岩石具有不同的强度性 质，其强度曲线可分为三个 类型） a) 直线型：(与库仑准则相同） c
c tg
单直线型
c tan
可进行强度计算：
双直线型
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
把（4）式带入（3）得
(2 t )2 2 4( 2 t ) t (5)
在 坐标下的准则 相似－－抛物线型。
2
4 t ( t ) 与莫尔准则
5.4.4 Griffith强度理论
①在 坐标下Griffith强度曲线:
4 t ( t )
5.4.5 Drucker-Prager准则
前面Coulomb准则和Mohr准则机理有相同之处，可以 统称为Mohr-Coulomb准则。MC准则体现了岩石材料 压剪破坏的实质，应用广泛 没有反映中间主应力的影响，不能解释岩石材料在静 水压力下也能屈服或破坏的现象 Drucker-Prager准则强度条件：
③不适用于膨胀、蠕变破坏。
5.4.4 Griffith强度理论
格里菲斯 （1920）认为脆性材料断裂的起因是分布在 材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中(这种裂纹现在称之 为Griffith裂纹)所致. 1921年，Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂 纹的扩展研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的 均匀单轴拉伸应力σ的加载方向。裂纹扩展时满足如下条 件：
5.4 强度理论 5.4.1 强度理论概述 5.4.2 Coulomb强度准则 5.4.3 Mohr强度理论 5.4.4 Griffith强度理论 5.4.5 Drucker-Prager准则
5.4.1 强度理论概述
强度理论：关于材料破坏原因和条件的假说。 基本思想： ①确认材料失效的力学原因，提出破坏条件假说。 ②用简单受力情况下的破坏实验指标，建立复杂应力状 态下的弹性失效准则。 岩石破坏类型： ①断裂破坏：单轴拉断、劈裂——由拉应力引起； ②剪切破坏：塑性流动、剪断——由剪应力引起。
5.4.3 Mohr强度理论
④剪切强度是关于σ轴对称的曲线，破坏面成对成簇 出现； ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割研究点破坏，否则不 破坏； ⑥不考虑σ2的影响。
莫尔理论建立与古典理论区别： ①不致力于寻找材料失效的共同力学原因； ②尽可能多地占有不同应力状态下材料失效的试验资 料，极限应力状态； ③用宏观唯象的处理方法建立失效条件。
5.4.3 Mohr强度理论
由上式和右图求得:
n( t )
d n cot 2 d 2 n( t ) 1 n csc 2 1 sin 2 4( t )
N
主、剪应力表达式： 主应力表达式： n系数：
确定n系数的方法：单轴压缩条件下有σ3=0，σ1=σc，代入
5.4.3 Mohr强度理论
对莫尔强度理论的评价：
优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏；
②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向. 不足：①忽视了σ2 的作用，误差：±10％；
②不适用于拉断破坏；
1 1
1
1
2
1
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1
1
1
1
5.4.4 Griffith强度理论
2）两个关键点： ①最容易破坏的裂隙方 向
带椭圆孔 薄板的孔 边应力集 中问题
1 3 1 arccos 2 2( 1 3 )
②最大应力集中点（危 险点）
在压应力条 件下裂隙开 列及扩展方 向
5.4.4 Griffith强度理论
1 3 3 0时 3 t ①数学式 ( 1 3 ) 2 8 t 1 3 3 0时 1 3
②最有利破裂的方向角
1 3 1 arccos 2 2( 1 3 )
2
( Rt t )
5.4.4 Griffith强度理论
②在 1 3 坐标下Griffith强度曲线
1 3 3 0时 3 t ( 1 3 ) 2 8 t 1 3 3 0时 1 3
5.4.4 Griffith强度理论
剪
切
式： c tan
三向应力式： 1 2c
1 sin 1 sin 3 1 sin 1 sin
单向应力式： 1 c 2c 1 sin 1 sin
5.4.2 Coulomb强度准则
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin c t an2 3
2
2
1 3
2
) sin
BD AB sin (c ctg 3
1 sin 1 sin 化简得： 1 2c 3 1 sin 1 sin
（有两种方法推导： 代数、几何 ）
5.4.2 Coulomb强度准则
强度准则：
③Griffith准则几何表示 （a）在 1 3坐标下
由此区可见，当 3 0 时，
1 8 t
即压拉强度比为8。
Griffith准则图解
5.4.4 Griffith强度理论
（b）在 坐标下 1 3 设 m －应力圆圆心； m ( 1 3 ) / 2 －应力圆半径
Grriffith强度准则评价： 优点：
①岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况；
②证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏，即材料的破坏 机理是拉伸破坏； ③指出微裂隙延展方向与最大主应力方向斜交，最终与最大主应力方向 一致。 不足： ①仅适用于脆性岩石，对一般岩石莫尔强度准则适用性远大于Griffith准 则。 ②对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。 ③Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。
2 2 1 3 sin 2 2
1 3
1 3
cos 2
当任意斜截面为破坏面时， 其上应力满足库仑准则。
5.4.2 Coulomb强度准则
2θ
由图： 2 900 由图：
BD
破坏面方向： 45 0
1 3
f I1 J 2 K 0
其中 I1 ii 1 2 3 x y z
为应力第一不变量
5.4.5 Drucker-Prager准则
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔强度曲线绘制： （由单拉、单压、 三压强度实验得到）
特点： 曲线左侧闭合，向由侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、似内聚力变 化，与所受应力有关）； 曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X 型节理）； 不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的 强度性）。
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔（1900）提出，把库仑准则推广到考虑三向应力状态， 认识到材料性本身也是应力的函数。
理论要点：
①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力 作用面上；
②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切 面上正应力的函数； ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、 二次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的 包络线，它由试验拟合获得；
2Ea C
a为裂纹表面单位面积的表面能；E为非破 裂材料的弹性模量。
5.4.4 Griffith强度理论
1924年，Griffith把他的理论推广到用于压缩试验的情 况。在不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响和假定椭 圆裂纹将从最大拉应力集中点开始扩展的情况下，如 图所示，获得了双向压缩下裂纹扩展准则，即Griffith 强度准则（σt为单轴抗拉强度）：
5.4.3 Mohr强度理论
c) 双曲线型： 表达式： （强度条件）
t tan2 1 t t
2 2
式中：φ1—为包络线渐进线夹角
1 tan1 2 c 3 t
灰岩、花岗岩等坚硬岩石强度包络 线近似于双曲线
③最大剪应力理论与岩石试验结果不符
σ1－σ3≤[σ]
a.最大剪应力理论破坏面与σ1 的夹角为45°； 而岩石破坏面与σ1 的夹角为45°－φ/2。
b.最大剪应力理论破坏面上剪应力最大；
而岩石破坏面上剪应力不是最大。
5.4.2 Coulomb强度准则
库仑（1773年）提出的“摩擦”准则 观点：
①岩石破坏主要为剪切破坏；
5.4.3 Mohr强度理论
b) 二次抛物线型：
表达式： 2 n( t ) 式中：σt—单向抗拉强度
n—待定系数
由图：N 点坐标及NM半径为
1 1 3 cot 2 2 1 1 2 2 sin 2
N
岩性较坚硬到较弱的岩石，如泥灰岩、砂岩、 泥页岩等强度包络线近似于二次抛物线
5.4.1 强度理论概述
古典强度理论与岩石强度表现不符：
①最大拉应力理论没有考虑σ2 和σ3 的影响。
1
b
nb
②最大伸长线应变理论虽考虑σ2 和σ3 的影响，但 多向拉比单向拉安全，与事实矛盾。
1 ( 2 3 )
b
nb
5.4.1 强度理论概述
②岩石抗剪切能力由两部分组成（岩石本身的内聚 力、剪切面上法向力产生的内摩擦力）。 ③强度准则形式－直线型：
c tan
τ为剪切面上的剪应力（剪切强度）；σ为剪切面上 的正应力；c为粘结力（或内聚力）；φ为内摩擦角
5.4.2 Coulomb强度准则
2θ
库仑准则可由 AL 直线表示
任意斜截面上应力为：
剪切面的正应力σ>0，得 出σ1>σc/2
5.4.2 Coulomb强度准则
应用： ①判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 ②预测破坏面的方向：（与最大主平面成 45 0 ）； 2 （X 型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。 ③进行岩石强度计算。
评价： ①是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例。 ② 不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。 ③不适用于受拉破坏。
2 2 2 m
（1）代入（2）得：( m )2 2 4 m t (3)
5.4.4 Griffith强度理论
( m )2 2 4 m t (3)
（3）式是满足强度判据的极限莫尔应力圆的表达式 （3）式对 m 求导得
2( m ) 4 t m 2 t (4)
( 1 3 ) 2 8 t ( 1 3 3 0) 1 3 ( 1 3 3 0) 3 t
5.4.4 Griffith强度理论
1）基本假设（观点）： ①物体内随机分布许多裂隙； ②所有裂隙都张开、贯通、独立； ③裂隙断面呈扁平椭圆状态； ④在任何应力状态下，裂隙尖端产生拉应力集 中，导致裂隙沿某个有利方向进一步扩展。 ⑤最终在本质上都是拉应力引起岩石破坏。
2
0 Griffith强度准则第二式写成 又设 1 3 3 ，则
(1 3 )2 (2 m ) 2 2 8 t 8 t m 4 m t (1) 1 3 (2 m )
应力圆方程： (
m ) (2)
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔包络线的三种形式：
（不同岩石具有不同的强度性 质，其强度曲线可分为三个 类型） a) 直线型：(与库仑准则相同） c
c tg
单直线型
c tan
可进行强度计算：
双直线型
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin
把（4）式带入（3）得
(2 t )2 2 4( 2 t ) t (5)
在 坐标下的准则 相似－－抛物线型。
2
4 t ( t ) 与莫尔准则
5.4.4 Griffith强度理论
①在 坐标下Griffith强度曲线:
4 t ( t )
5.4.5 Drucker-Prager准则
前面Coulomb准则和Mohr准则机理有相同之处，可以 统称为Mohr-Coulomb准则。MC准则体现了岩石材料 压剪破坏的实质，应用广泛 没有反映中间主应力的影响，不能解释岩石材料在静 水压力下也能屈服或破坏的现象 Drucker-Prager准则强度条件：
③不适用于膨胀、蠕变破坏。
5.4.4 Griffith强度理论
格里菲斯 （1920）认为脆性材料断裂的起因是分布在 材料中的微小裂纹尖端有拉应力集中(这种裂纹现在称之 为Griffith裂纹)所致. 1921年，Griffith把该理论用于初始长度为2C的椭圆形裂 纹的扩展研究中，并设裂纹垂直于作用在单位厚板上的 均匀单轴拉伸应力σ的加载方向。裂纹扩展时满足如下条 件：
5.4 强度理论 5.4.1 强度理论概述 5.4.2 Coulomb强度准则 5.4.3 Mohr强度理论 5.4.4 Griffith强度理论 5.4.5 Drucker-Prager准则
5.4.1 强度理论概述
强度理论：关于材料破坏原因和条件的假说。 基本思想： ①确认材料失效的力学原因，提出破坏条件假说。 ②用简单受力情况下的破坏实验指标，建立复杂应力状 态下的弹性失效准则。 岩石破坏类型： ①断裂破坏：单轴拉断、劈裂——由拉应力引起； ②剪切破坏：塑性流动、剪断——由剪应力引起。
5.4.3 Mohr强度理论
④剪切强度是关于σ轴对称的曲线，破坏面成对成簇 出现； ⑤莫尔圆与强度曲线相切或相割研究点破坏，否则不 破坏； ⑥不考虑σ2的影响。
莫尔理论建立与古典理论区别： ①不致力于寻找材料失效的共同力学原因； ②尽可能多地占有不同应力状态下材料失效的试验资 料，极限应力状态； ③用宏观唯象的处理方法建立失效条件。
5.4.3 Mohr强度理论
由上式和右图求得:
n( t )
d n cot 2 d 2 n( t ) 1 n csc 2 1 sin 2 4( t )
N
主、剪应力表达式： 主应力表达式： n系数：
确定n系数的方法：单轴压缩条件下有σ3=0，σ1=σc，代入
5.4.3 Mohr强度理论
对莫尔强度理论的评价：
优点：①适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏；
②较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特征； ③解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； ④简单、方便:同时考虑拉、压、剪,可判断破坏方向. 不足：①忽视了σ2 的作用，误差：±10％；
②不适用于拉断破坏；
1 1
1
1
2
1
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
1
1
1
1
5.4.4 Griffith强度理论
2）两个关键点： ①最容易破坏的裂隙方 向
带椭圆孔 薄板的孔 边应力集 中问题
1 3 1 arccos 2 2( 1 3 )
②最大应力集中点（危 险点）
在压应力条 件下裂隙开 列及扩展方 向
5.4.4 Griffith强度理论
1 3 3 0时 3 t ①数学式 ( 1 3 ) 2 8 t 1 3 3 0时 1 3
②最有利破裂的方向角
1 3 1 arccos 2 2( 1 3 )
2
( Rt t )
5.4.4 Griffith强度理论
②在 1 3 坐标下Griffith强度曲线
1 3 3 0时 3 t ( 1 3 ) 2 8 t 1 3 3 0时 1 3
5.4.4 Griffith强度理论
剪
切
式： c tan
三向应力式： 1 2c
1 sin 1 sin 3 1 sin 1 sin
单向应力式： 1 c 2c 1 sin 1 sin
5.4.2 Coulomb强度准则
1 sin 1 sin 1 2c 3 1 sin 1 sin c t an2 3
2
2
1 3
2
) sin
BD AB sin (c ctg 3
1 sin 1 sin 化简得： 1 2c 3 1 sin 1 sin
（有两种方法推导： 代数、几何 ）
5.4.2 Coulomb强度准则
强度准则：
③Griffith准则几何表示 （a）在 1 3坐标下
由此区可见，当 3 0 时，
1 8 t
即压拉强度比为8。
Griffith准则图解
5.4.4 Griffith强度理论
（b）在 坐标下 1 3 设 m －应力圆圆心； m ( 1 3 ) / 2 －应力圆半径
Grriffith强度准则评价： 优点：
①岩石抗压强度为抗拉强度的8倍，反映了岩石的真实情况；
②证明了岩石在任何应力状态下都是由于拉伸引起破坏，即材料的破坏 机理是拉伸破坏； ③指出微裂隙延展方向与最大主应力方向斜交，最终与最大主应力方向 一致。 不足： ①仅适用于脆性岩石，对一般岩石莫尔强度准则适用性远大于Griffith准 则。 ②对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够。 ③Griffith准则是岩石微裂隙扩展的条件，并非宏观破坏。
2 2 1 3 sin 2 2
1 3
1 3
cos 2
当任意斜截面为破坏面时， 其上应力满足库仑准则。
5.4.2 Coulomb强度准则
2θ
由图： 2 900 由图：
BD
破坏面方向： 45 0
1 3
f I1 J 2 K 0
其中 I1 ii 1 2 3 x y z
为应力第一不变量
5.4.5 Drucker-Prager准则
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔强度曲线绘制： （由单拉、单压、 三压强度实验得到）
特点： 曲线左侧闭合，向由侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、似内聚力变 化，与所受应力有关）； 曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X 型节理）； 不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的 强度性）。
5.4.3 Mohr强度理论
莫尔（1900）提出，把库仑准则推广到考虑三向应力状态， 认识到材料性本身也是应力的函数。
理论要点：
①岩石的剪切破坏由剪应力引起；但不是发生在最大剪应力 作用面上；
②剪切强度取决于剪切面上的正应力和岩石的性质，是剪切 面上正应力的函数； ③剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种：直线型、 二次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的 包络线，它由试验拟合获得；
2Ea C
a为裂纹表面单位面积的表面能；E为非破 裂材料的弹性模量。
5.4.4 Griffith强度理论
1924年，Griffith把他的理论推广到用于压缩试验的情 况。在不考虑摩擦对压缩下闭合裂纹的影响和假定椭 圆裂纹将从最大拉应力集中点开始扩展的情况下，如 图所示，获得了双向压缩下裂纹扩展准则，即Griffith 强度准则（σt为单轴抗拉强度）：