排队论及其应用
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4
相邻两个状态之间流量也应该“守恒”
λ
λ
λ
λ
0
... n-1
n
n+1
...
μ
μ
μ
μ
状态n和n+1之间，“nn+1”流量为λpn， “n+1n”流量μpn+1，所以
p p 不能从CK等式直接获得，
n
n1 推导可得
前一种守恒被称为全局守恒，后一种被称为局 部守恒。从流量守恒分析排队模型更直接。
P[Δt内发生一个到达事件]=λΔt+o(Δt) P[Δt内发生一个离开事件]=μΔt+o(Δt) P[Δt内发生多于一个到达/离开事件]=o(Δt)
2
这是生灭过程，λi=λ，μi=μ
使用CK等式，并考虑稳态条件，dpj (t) 0
得到
dt
p0 p1
p j p j1 p j1
12
等待时间分布
令Tq为一个客户在M/M/1系统队列中的等待时 间，Tq为随机变量，令其CDF为Wq(t)
等待时间分布依赖于排队规则，假设FCFS 到达时队列为空，Wq (0) P[Tq 0] q0 定义一个客户到达时系统中已经有n个客户
（不包括到达客户）的概率qn。对于泊松到达 过程，pn=qn。
3
状态图和流量平衡
如果M/M/1排队系统中有n个客户，系统处于 状态n，M/M/1排队模型的状态图
λ
λ
λ
λ
0
... n-1
n
n+1
...
μ
μ
μ
μ
系统稳态，一个状态流入和流出流量“守恒”
状态n流入流量λpj-1+μpj+1，流出流量λpj+μpj
p0 p1, pj pj1 pj1
13
到达时队列里有n个客户
由于无记忆性，正在服务的客户剩余服务时间分 布为参数μ的指数分布，
完成n个客户服务的时间服从n型Erlang分布：即n 个独立同分布的服从指数分布的随机变量之和 f (x; n; ) n x e n1 x , x, 0
(n 1)!
14
队列等待时间分布
Wq (t) Pr{Tq t}
Wq (t) 1 e(1)t
15
队列平均等待时间
Wq
0 [1Wq (t)]dt
e(1)t dt
0
系统等待时间分布
W (t) Pr{时间t内服务n个客户| 到达时发现系统中有n 1个客户} pn1 n1
(1 )
n1
x e t n n1 x
dx
n1
0 (n 1)!
其中pn’是队列非空时系统内有n个客户的概率
pn' P[系统中有n个客户| n 2]
P[系统中有n个客户且n 2] P[n 2]
pn
n2
pn
pn
2
9
L'q
百度文库
n1
(n
1) pn'
L
p1
(1
2
p0
p1 )
1
1
L'q
1
1
系统中有超过n个客户的概率为
P[N n] (1 ) k (1 ) n kn n
Wq (0) P[服务n个客户的时间 t | 到达时发现系统中有n个客户] pn n1
1 (1 ) n
x e t n n1 x
dx
n1 0 (n 1)!
1 (1 ) t ex ( x )n1dx
0
n1 (n 1)!
1 (1 ) t exex dx 0
1 e (1 )t
当λ=μ，表示客户进入速率刚好等于服务速率。这时任何 服务器的空闲都会导致客户累积。
6
M/M/1的性能指标
令N表示排队系统内客户数目，即P[N=n]=pn，令 L=E[N]为系统内平均客户数
L E[N ] npn (1 ) n n ??
n0
n0
由于
n
1
，
n0
1
d
n
n0
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k n
k n
当n=1，正在接受服务的客户个数为ρ
10
最后，应用Little’s等式，客户在系统和队列中 的平均等待时间
WL 1 (1 )
Wq
Lq
2 (1 )
现在我们已经得到如下性能指标 pn , L, Lq ,W ,Wq 我们用到的信息：客户到达间隔分布，客户服 务时间分布，而没有规定排队规则，因此，以 上结果适用于任何排队规则。
n n1
d
1
1
1
d
n0
d
(1 )2
所以
L
1
7
另外一个重要指标是排队中的客户数目
Lq (n 1) pn n1
2
n1 npn n1 pn 1 (1 p0 ) 1
Lq
2 1
2
L
为什么Lq≠L-1?
8
当队列非空时，平均等待客户个数？
L'q E[Nq | Nq 0] (n 1) pn' n1
5
求解M/M/1
n
n
简单迭代，可得
pn p0
,
p0
1
令ρ=λ/μ，可改写为
pn n (1 ), n 0,1, 2,...
n0
p0
1 1 n
n0
当ρ<1（λ<μ），M/M/1排队系统有稳态解。
从排队系统的角度， λ<μ表示客户进入系统的速率小 于服务器完成客户服务的速率。如果λ>μ，系统内会 积累越来越多的客户等待服务。
排队论及其应用
Lecture 3 基于生灭过程的简单排队模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田野
1
M/M/1排队模型
一个服务器，等待位无限，客户到达时间间隔和客 户服务时间符合分布
a(t) et , b(t) et
即客户到达为一个泊松过程，单位时间λ个客户到达， 系统非空时单位时间完成μ个客户服务 考虑时段[t,t+Δt)，
W (t) 1 e()t
队列平均等待时间
W
[1W (t)]dt
e(1)t dt
1
0
0
16
例 理发店
同上例，理发店是一个M/M/1模型，λ=5个/小 时1/μ=1/6小时 Probability Distribution
Number of Customers
0.20
0.10
prob…
11
例子：理发店
一间理发店只有一位理发师（一张理发椅）， 同时有一张四人沙发供客人等待。由于手艺精 湛，客人总是愿意等。
每小时平均有5位客人光临，泊松到达过程 给一位客人理发平均用10分钟，指数分布
问:客人不用等待的概率？ 16.7% 客人站着等待的概率？ 40.2%
5 / 6 1, p0 1 1/ 6, P[沙发满]=P[N 4] 5
相邻两个状态之间流量也应该“守恒”
λ
λ
λ
λ
0
... n-1
n
n+1
...
μ
μ
μ
μ
状态n和n+1之间，“nn+1”流量为λpn， “n+1n”流量μpn+1，所以
p p 不能从CK等式直接获得，
n
n1 推导可得
前一种守恒被称为全局守恒，后一种被称为局 部守恒。从流量守恒分析排队模型更直接。
P[Δt内发生一个到达事件]=λΔt+o(Δt) P[Δt内发生一个离开事件]=μΔt+o(Δt) P[Δt内发生多于一个到达/离开事件]=o(Δt)
2
这是生灭过程，λi=λ，μi=μ
使用CK等式，并考虑稳态条件，dpj (t) 0
得到
dt
p0 p1
p j p j1 p j1
12
等待时间分布
令Tq为一个客户在M/M/1系统队列中的等待时 间，Tq为随机变量，令其CDF为Wq(t)
等待时间分布依赖于排队规则，假设FCFS 到达时队列为空，Wq (0) P[Tq 0] q0 定义一个客户到达时系统中已经有n个客户
（不包括到达客户）的概率qn。对于泊松到达 过程，pn=qn。
3
状态图和流量平衡
如果M/M/1排队系统中有n个客户，系统处于 状态n，M/M/1排队模型的状态图
λ
λ
λ
λ
0
... n-1
n
n+1
...
μ
μ
μ
μ
系统稳态，一个状态流入和流出流量“守恒”
状态n流入流量λpj-1+μpj+1，流出流量λpj+μpj
p0 p1, pj pj1 pj1
13
到达时队列里有n个客户
由于无记忆性，正在服务的客户剩余服务时间分 布为参数μ的指数分布，
完成n个客户服务的时间服从n型Erlang分布：即n 个独立同分布的服从指数分布的随机变量之和 f (x; n; ) n x e n1 x , x, 0
(n 1)!
14
队列等待时间分布
Wq (t) Pr{Tq t}
Wq (t) 1 e(1)t
15
队列平均等待时间
Wq
0 [1Wq (t)]dt
e(1)t dt
0
系统等待时间分布
W (t) Pr{时间t内服务n个客户| 到达时发现系统中有n 1个客户} pn1 n1
(1 )
n1
x e t n n1 x
dx
n1
0 (n 1)!
其中pn’是队列非空时系统内有n个客户的概率
pn' P[系统中有n个客户| n 2]
P[系统中有n个客户且n 2] P[n 2]
pn
n2
pn
pn
2
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L'q
百度文库
n1
(n
1) pn'
L
p1
(1
2
p0
p1 )
1
1
L'q
1
1
系统中有超过n个客户的概率为
P[N n] (1 ) k (1 ) n kn n
Wq (0) P[服务n个客户的时间 t | 到达时发现系统中有n个客户] pn n1
1 (1 ) n
x e t n n1 x
dx
n1 0 (n 1)!
1 (1 ) t ex ( x )n1dx
0
n1 (n 1)!
1 (1 ) t exex dx 0
1 e (1 )t
当λ=μ，表示客户进入速率刚好等于服务速率。这时任何 服务器的空闲都会导致客户累积。
6
M/M/1的性能指标
令N表示排队系统内客户数目，即P[N=n]=pn，令 L=E[N]为系统内平均客户数
L E[N ] npn (1 ) n n ??
n0
n0
由于
n
1
，
n0
1
d
n
n0
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
k n
k n
当n=1，正在接受服务的客户个数为ρ
10
最后，应用Little’s等式，客户在系统和队列中 的平均等待时间
WL 1 (1 )
Wq
Lq
2 (1 )
现在我们已经得到如下性能指标 pn , L, Lq ,W ,Wq 我们用到的信息：客户到达间隔分布，客户服 务时间分布，而没有规定排队规则，因此，以 上结果适用于任何排队规则。
n n1
d
1
1
1
d
n0
d
(1 )2
所以
L
1
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另外一个重要指标是排队中的客户数目
Lq (n 1) pn n1
2
n1 npn n1 pn 1 (1 p0 ) 1
Lq
2 1
2
L
为什么Lq≠L-1?
8
当队列非空时，平均等待客户个数？
L'q E[Nq | Nq 0] (n 1) pn' n1
5
求解M/M/1
n
n
简单迭代，可得
pn p0
,
p0
1
令ρ=λ/μ，可改写为
pn n (1 ), n 0,1, 2,...
n0
p0
1 1 n
n0
当ρ<1（λ<μ），M/M/1排队系统有稳态解。
从排队系统的角度， λ<μ表示客户进入系统的速率小 于服务器完成客户服务的速率。如果λ>μ，系统内会 积累越来越多的客户等待服务。
排队论及其应用
Lecture 3 基于生灭过程的简单排队模型
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田野
1
M/M/1排队模型
一个服务器，等待位无限，客户到达时间间隔和客 户服务时间符合分布
a(t) et , b(t) et
即客户到达为一个泊松过程，单位时间λ个客户到达， 系统非空时单位时间完成μ个客户服务 考虑时段[t,t+Δt)，
W (t) 1 e()t
队列平均等待时间
W
[1W (t)]dt
e(1)t dt
1
0
0
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例 理发店
同上例，理发店是一个M/M/1模型，λ=5个/小 时1/μ=1/6小时 Probability Distribution
Number of Customers
0.20
0.10
prob…
11
例子：理发店
一间理发店只有一位理发师（一张理发椅）， 同时有一张四人沙发供客人等待。由于手艺精 湛，客人总是愿意等。
每小时平均有5位客人光临，泊松到达过程 给一位客人理发平均用10分钟，指数分布
问:客人不用等待的概率？ 16.7% 客人站着等待的概率？ 40.2%
5 / 6 1, p0 1 1/ 6, P[沙发满]=P[N 4] 5