2013年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2013年北京市中学生数学竞赛 高一年级复赛试题及解答

2013年5月12日9:00～11:00

一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）

1．方程x 4

+y 4

+z 4

−2x 2y 2

−2y 2z 2

−2z 2x 2

=24的全部整数解(x , y , z )的集合是 ． 答：Φ．

解：因为 x 4+y 4+z 4−2x 2y 2−2y 2z 2−2z 2x 2

=(x 2−y 2−z 2)2−4z 2x 2

=(x 2−y 2−z 2+2zx )(x 2−y 2−z 2−2zx ) =(x +y −z )(x −y +z )(x +y +z )(x −y −z )

所以原方程等价于 (x +y −z )(x −y +z )(x +y +z )(x −y −z )=24．

若方程有整数解(x , y , z )，则x +y −z 、x −y +z 、x +y +z 、x −y −z 均为整数，其乘积等于偶数24，因此x +y −z 、x −y +z 、x +y +z 、x −y −z 中至少有一个为偶数．而

x +y −z 、x −y +z 、x +y +z 、x −y −z 同奇偶，所以它们都是偶数．因此，方程左边被16整除，而右边的24不被16整除，矛盾！所以方程有整数解(x , y , z )的假设不成立，即方程无整数解，也就是方程x 4+y 4+z 4−2x 2y 2−2y 2z 2−2z

2x 2=24的全部整数解(x , y , z )的集合是Φ．

2．如右图，菱形ABCD 的顶点D 、C 在直线y =x 上，且顶点A 、B

在曲线y =x 2

上，DA 平行于y 轴，则菱形ABCD 的面积= ．

答：24．

解：设

A (a , a 2),

B (b ,

b 2), C (

b , b ), D (a , a )，

因为AB//CD ，所以22

b a b a

--=1，即a +b =1．

又DC=AD

，所以2)b a a a -=-22).a a a -=- 即21)0a a -=，解得1a =，2舍！） 因此111)2b a =-=-=．S ABCD =(a −a 2)(b −a

)=24．

3．函数f ：N → N ，使对一切n ∈ N ，有f (f (n ))+f (n )=2n +3，且f (0)=1，则(6)(7)(8)(9)(10)

(1)(2)(3)(4)(5)

f f f f f f f f f f ++++的值等于 ．

答：2772.

解：以n =0代入f (f (n ))+ f (n )=2n +3 （*）

得f (f (0))+ f (0)=2×0+3，得f (1)+1=3，即f (1)=2．

进一步，令n =1，由（*）式得f (2)=3，同理得f (n )=n +1，n =3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，所以

(6)(7)(8)(9)(10)

(1)(2)(3)(4)(5)

f f f f f f f f f f ++++=2772．

4．如右图，在△ABC 中，∠B =60°，∠ACB =75°，点D 是BC 边上的动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，若弦EF 长度的最小值为2，此时AB 的长为 ．

解：连结OE 、OF ，

∵∠B =60°，∠ACB =75°，∴∠BAC =45°， ∴∠EOF =2∠BAC =90°，∴EF

∵EF 的最小值为2，∴OE

∴AD

的最小值为 而AD ⊥BC 时，AD 达到最小， ∴当EF 的最小值为2时，AB

=

sin 603

AD ==

． 5．实数a , b , c 满足a +b +c =2，ab +bc +ca =0，且abc =−1，则以实数a , b , c 的数值为元素的集合是

．

答：111,22⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭

．

解：由 a +b +c =2，ab +bc +ca =0，且abc =−1，即a +b =2−c ，ab +c (a +b )=0，ab =−

1

c

， 得−1c +c (2−c )=0，也就是c 3−2c 2+1=0，即(c =1)(c 2−c −1)=0，解c 2−

c −1=0得c 1,2．

由于条件的轮换对称性，可知满足a +b +c =2，ab +bc +ca

=0，且abc =−1

的实数集合

是1,⎪⎪⎩⎭

．

二、（满分15分）二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次方程cx 2+dx +a =0的根的2013倍， 求证：b 2=d 2．

证明：由ax 2+bx +c =0和cx 2+dx +a =0都是二次方程，所以a ≠0，c ≠0．

设x 1、x 2是cx 2+dx +a =0的根，依题意2013x 1、2013x 2是二次方程ax 2+bx +c =0的根，根据韦达定理，有

12d x x c +=-

，12a x x c =；2013x 1+2013x 2=b a -，2013x 1∙2013x 2=c a

． 即

2013d b

c a

=， ① 22013a c

c a

=， ② 由②得 22

22013c a =，由①得 222

222013d c b a

⨯=，

所以b 2=d 2．

三、（满分15分）（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就

称这个正整数为“好整数”,如

222222222

2221222863250504,2007,2008243

++++++===

， 4，2007，2008都是“好整数”.记“好整数”的集合为M ，正整数的集合为N +，求证：

M =N +．

（2）记a =12+22+32+…+20122+20132，求证：a 可以写成2012个不同的正整数的平方和．

证明：（1）因为每个“好整数”都是正整数，所以M N +⊆．

另一方面，对每个n N +

∈，都有2222

1111

n n n n ++++=

+个

，所以n 是“好整数”，即.n M ∈

所以.N M +⊆ 因此，M =N +．

（2）只需从12至20132中去掉两个，根据勾股定理，换上一个大于20132的数即可.而20002=42×5002，根据32+42=52，则32×5002+42×5002=52×5002，即15002+20002=25002，因此从数a 中去掉15002和20002，添加25002，即将a 写成了2012个不同的正整数的平方和.

四、（满分15分）在△ABC 中，∠BAC =40º，∠ABC =60º，若D 和E 分别是边AC 和

AB 上的点，且使∠CBD =40º，∠BCE =70º，F 是BD 和CE 的交点，连接AF ，求证：AF ⊥BC ．

证明：作∠ABD 的平分线交EF 于点M ，交AD 于点N ．连接MD ，EN ，NF ， 因为∠ABC =60º，∠CBD =40º，所以∠ABD =20º，

因此∠ABM =∠DBN =10º， 因为∠BAC =40º，∠ABC =60º， 所以∠ACB =80º，

由 ∠BCE =70º，得∠ACE =10º.

所以∠EBN =∠ECN =10º，∠MBD =∠DCM =10º，