1.数域
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而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
8/9
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
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Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个 数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
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例1．证明：数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域． 证：Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
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（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
一、数域的概念 二、数域性质定理
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
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说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
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练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
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Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
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例2．设P是至少含两个数的数集，若P中任意两个 数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一个数域。
证：由题设任取 a,b P, 有
0 a a P, a P (b 0), b
1 b P (b 0), b
中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
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例1．证明：数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域． 证：Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
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（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q 2.
a b P,
a b a (0 b) P,
b 0 时,
ab
a 1
P,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
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二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
一、数域的概念 二、数域性质定理
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
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说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P