简单超静定梁

5. 利用图b可得约束力：
FA 32.05 kN ，FB 66 kN ，FC 11.64 kN
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然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。
(c)
(d)
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(二) 梁的上,下表面温度差异的影响
图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其 后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2>t1，从而产生约束力如图中所示。
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解: 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支 座的数目。此梁为一次超静定梁。
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2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止 左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而 以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。
此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原
ΔBt
面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截
面的转角d 由图b可知为
d n0 n n n m m l t2 t1 d x
h
h
h
上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 d 为负。
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根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分
方程为
d2 w d x2
ΔBt
l
t1
t2 2
t0
l
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位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移
所对应的物理关系显然为
ΔBFBx
FBxl EA
wBFB y
FByl 3 3EI
BFBy
FByl 2 2EI
wBM B
M Bl2 2EI
BMB
M Bl EI
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已得出的物理关系
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如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则 由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下 列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系 统：
ΔBx ΔBt ΔBFBx 0
l
wB wBt wBFBy wBM 0
B Bt BFBy BMB 0
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ΔBx ΔBt ΔBFBx 0
wB wBt wBFBy wBM 0
B Bt BFBy BMB 0
式中一些符号的意义见图c,d,e。
(c)
(d)
(e)
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现在先来求Bt和wBt与梁的上,下表面温差(t2- t1)之
间的物理关系。
从上面所示的图a中取出的微段dx, 当其下表面和上表
超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有
等值反向的“多余”未知力矩── 弯矩MB，图b中的“多 余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为
B B
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3. 利用教材中的附录Ⅳ可得物理关系为
B
20 103 N/m 24 EI
4 m3
MB 4 m 3EI
B
2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何 求解？
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例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和 钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢 梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。
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解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面 平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。
基本静定系在原有均布荷 载q和“多余”未知力FB作 用下(图b)当满足位移相容 条件(参见图c,d)
wBq wBB 0
时该系统即为原超静定梁
的相当系统。
若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见
教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为
ql 4 FBl3 0
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8EI 3EI
1
d
dx
l t2 t1
h
将此式积分，并利用边界条件
得
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|x0
dw dx
|x0
0，
w |x0 0
l t2 t1 x， w l t2 t1 x2
h
2h
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从而有
Bt
|xl
l t2 t1 l ，
h
wBt w |xl l
t2 t1 2h
l2
至于温差引起轴向位移DBt则为
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4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：
7qa4 FNa3 FNl 12EI EI EA
由此求得
FN
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7qa4 A I l Aa3
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例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC， 并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度 EI=5×106 N·m2。
30103
N 3 m2 m5 m 2 m MB 5 m
6EI 5 m
3EI
应该注意，在列出转角B 和B 的算式时每一项的正
负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)
确定。
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4. 将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而 解得
M B 31.80 kN m
这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩 与图b中所设相反，即为负弯矩。
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从而解得“多余”未知力
FB
3 ql 8
所得FB为正值表示原来假设 的指向(向上)正确。固定端
的两个约束力利用相当系统
由静力平衡条件求得为
FA
5 8
ql
，M
A
1 8
ql2
2
该超静定梁的剪力图和弯矩 图亦可利用相当系统求得， 如图所示。
思考 1. 该梁的反弯点 (弯矩变换正负号的点) 距梁的左端的距离为多 少？
(a)
l
由于未知的约束力有6个，而独立的平衡方程只有3 个，故为三次超静定问题。
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现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束， 则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。
(a)
l
(b)
(c)
它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角Bt和挠度 wBt(见图c)以及轴向位移DBt。
2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的 “多 余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。
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3. 物理关系(参见图c,d)为
wA wAq wAF
7qa4 12 EI
FNa3 ， EI
Hale Waihona Puke DlDA FNl EA需要注意，因DlDA亦即图b中的A A1是向下的，故上式中wAF 为负的。