第十章简单超静定

第十章 简单超静定

习 题

10.1 对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构；

(2)列出相应的变形协调条件。

(a)

(b)

(c) (d)

(e) (f)

(g)

(h)

题10.1图

图一 图二 图三

解：（a ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力

（b ）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束

（c ）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力

（d ）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B 处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0

（e ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B 处引起的挠度B ω等于支座B 产生的支反力NB F 引起的变形B ∆，即B B ω=∆

（f ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力

（g ）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束

（h ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B 处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0

10.2 如图所示受一对力F 作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA 。试求A 端和B 端的约束力。

题10.2图

解：杆件AB 为对称的受力结构，设A 、B 端的受力为NA F ，NB F 。且有NA NB

F F =

C D

对AC 段进行考虑，1NA F a

l EA

∆=（受拉）

对CD 段进行考虑，2()NA F F a

l EA

-∆=

（受压）

由变形协调方程 1220l l ∆-∆=得：

13

NA F F = 即：A 、B 端的受力均为1

3

F （拉力）

10.3 图示结构，AD 为刚性杆，已知F ＝40 kN ，1、2杆材料和横截面积相同，且E 1=E 2=E =200 GPa ，A 1=A 2=A =1 cm 2，a =2 m ，l ＝1.5 m 。试求1、2两杆的应力。

D

D

题10.3图

解：设1、2杆的受力分别为1N F ，2N F ，变形为1l ∆、2l ∆ 因为杆AD 为刚性杆，其变形如图所示

有平衡方程

0C

M

=∑得：

2120N N F l F l Fl +-= （1）

其变形协调方程： 1l ∆=22l ∆ （2）

又有 11111N N F a F a E A EA ∆=

= 22

222N N F a F a

E A EA

∆==

联立方程（1）、（2）得： 2120

N N F a F a Fa +-=

116N F KN = 28N F KN = 有公式 F

A σ=

得： 1σ=1N F A =160001600.0001Pa MPa

=

228000

800.0001

N F Pa MPa A σ===

10.4 图示为一个套有铜套的钢螺栓。已知螺栓的横截面积A 1=600 m 2,弹性模量E 1=200 GPa ；铜套的横截面积A 2=1200 m 2,弹性模量E 1=100 GPa 。螺栓的长度l =750 mm ，螺距s =3 mm 。设初始状态下钢螺栓和铜套刚好不受力，试就下述三种情况求螺栓及套筒的轴力N1F 和N 2F ：

（1）螺母拧紧1/4圈；

（2）螺母拧紧1/4圈，再在螺栓两端加拉力F =80kN ；

（3）由初始状态温度上升C t ︒=∆50。设钢的线膨胀系数C /105.126

1︒⨯=-α，铜的

线膨胀系数C

/10

166

2︒⨯=-α

题10.4图

解：（1）把螺母旋进1/4圈，必然会使螺栓手拉而套筒受压。如将螺栓及套筒切开，容易写出平衡方程

120N N F F -=

现在寻求变形协调方程。设想把螺栓及套筒切开，当螺母旋进1/4圈时，螺母前进的距离为s/4。这时如再把套筒装上去就必须把螺栓拉长1l ，而把套筒压短2l ，这样二者才能配合在一起。设二者最后在某一位置上取得协调，则变形之间的关系为124

s

l l +=

式中1l 和2l 皆为绝对值。钢螺栓的抗拉强度为E 1 A 1 ，套筒的抗压刚度为E 2 A 2，由胡克定律

1111N F l l E A =， 2222

N F l l E A =

于是有

1211

22

4

N N F l F l s E A E A +

=

可解出 121122

1122604()

N N sE A E A F F KN

l E A E A ===+

（2）先把螺母旋进1/4圈，则螺栓与套筒的轴力为121122

1122604()

N N sE A E A F F KN

l E A E A ==

=+

再在螺栓两端加拉力F =80kN 后， 螺栓的轴力11'

80140N N F F KN =+=（受拉）

套筒的轴力为0KN

（3） 先写出平衡方程 120N N F F -= 温度上升后变形条件为 12t

l l l +=

12()t l l t αα=+

由胡克定律

1111

N F l l E A =

， 2222

N F l l E A =

联立上面的式子有12855N N F F KN ==

10.5 如图所示结构，其中杆AC 为刚性杆，杆1，2，3的弹性模量E 、横截面面积A 和长度

l 均相同，点C 作用垂直向下的力F 。试求各杆内力值。