2020-2021学年安徽师范大学附属中学高一上学期1月摸底(期末)考试数学试题(解析版)

2020-2021学年安徽师范大学附属中学高一上学期1月摸底

（期末）考试数学试题

一、单选题

1．设P 和Q 是两个集合，定义集合{|P Q x x P -=∈，且}x Q ∉，如果

{}|124x P x =<<，{}|2sin ,Q y y x x R ==+∈，那么P Q -=( )

A ．{|01}x x <≤

B ．{|02}x x ≤<

C ．{|12}x x ≤<

D ．{|01}x x <<

【答案】D

【分析】根据P Q -的定义，可求出P ，Q ，然后即可求出P Q -． 【详解】解：{|02}P x x =<<，{|13}Q y y =≤≤； ∴{|01}P Q x x -=<<． 故选D.

【点睛】考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，属于基础题．

2．已知113log 2x =，1222x -

=，3x 满足3

331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则（ ） A ．123x x x << B ．132x x x <<

C ．213x x x <<

D ．312x x x <<

【答案】A

【分析】将3

331log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()31log 3x

f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

的零点问题，再根据零点

存在性定理即可得3x 的范围，进而得答案. 【详解】解：因为函数

13

log y x =在()

0,∞+上单调递减，所以1113

3

log 2log 10x =<=；

12

212

102

12

x -

<==

=； 因为3x 满足3

331log 3x x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭，即3x 是方程31log 03x

x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，

所以3x 是函数()31log 3x

f x x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

的零点，

易知函数f (x )在定义域内是减函数， 因为()113

f =

，()1

31027f =-<， 所以函数有唯一零点，即()31,3x ∈. 所以123x x x <<. 故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将3x 满足3331log 3x

x ⎛

⎫= ⎪⎝⎭转化为3x 是函数()31log 3x

f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

的零

点，进而根据零点存在性定理即可得3x 的范围.

3．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原

4

π

α=

，则点P 的坐标为（ ） A ．()1,2 B ．()2,1

C ．()2,2

D ．()1,1

【答案】D

【分析】根据三角函数定义：cos ,sin x r y r αα==即可得出点P 的坐标.

【详解】解：根据三角函数定义得1,14

4

x y π

π

====，

所以点P 的坐标为()1,1. 故选：D.

【点睛】利用三角函数定义解题的常见类型及方法：

（1）已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值．先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数定义求解；

（2）已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解； （3）已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论； （4）判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断.

4．若sin x ＜0，且sin （cos x ）＞0，则角x 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

【答案】D

【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可． 【详解】∵﹣1≤cos x ≤1，且sin （cos x ）＞0， ∴0＜cos x ≤1， 又sin x ＜0，

∴角x 为第四象限角， 故选D ．

【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．

5．已知函数2log (1),1,

()1,1,

x x f x x +≥⎧=⎨<⎩则满足(21)(31)f x f x +<-的实数x 的取值范

围是（ ） A ．2,3⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

B ．(2,)+∞

C ．2,23⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．()1,2

【答案】B

【分析】根据函数的解析式，得出函数的单调性，把不等式(21)(32)f x f x +<-，转化为相应的不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数2log (1),1

()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩

，

可得当1x <时，()1f x =，

当1≥x 时，函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且()21log 21f ==，

要使得()()2131f x f x +<-，则2131

311x x x +<-⎧⎨

->⎩

，解得2x >， 即不等式()()2131f x f x +<-的解集为()2,+∞， 故选：B.

【点睛】思路点睛：该题主要考查了函数的单调性的应用，解题思路如下： （1）根据函数的解析式，得出函数单调性； （2）合理利用函数的单调性，得出不等式组； （3）正确求解不等式组，得到结果.

6．函数

2sin()

()5sin 2x x f x x x ππ-+=

⎛⎫++ ⎪

⎝⎭

在[,]-ππ的图象大致为（ ）