电磁场理论_第四章_静态场的解

解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否 会发生很大的变化。 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否唯一。 电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。
唯一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是唯一的。
q
导体平面
q 4π 0
1 1 r1 r2
导体平面
z
q
r1
r2
p
导体平面边界上：
d
d q
o
r1 r2
0
x
电位满足边界条件
电位： q 4π 0
1 1 2 1/ 2 2 2 2 2 2 1/ 2 x y (z d ) x y (z d )
S
H Jc E 0 D v B 0 Jc 0
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程
l E dl 0 D dS v dV
S v
D E
由边界条件
R1
U A ln R1 B
0 Aln R2 B
U A R ln 1 R2
U B ln R2 R ln 1 R2
R2 U ln 则： R2 r ln R1
E
E
U R2 r ln R1
er
2. 叠加定理
若 1和 2分别满足拉普拉斯方程，则1和 2 的线性组合
D1
q q ˆ ˆ a a 2 R 2 R 4πR 4πR
当待求区域为介质2所在区域时， 设一镜像电荷q″位于区域1中，且 位置与 q 重合，同时将整个空间视 为均匀介质2。于是区域2中任一点 的电位和电位移矢量分别为： q q q q 2 ˆ D2 a 2 R 4πR 4π 2 R
三、静态场的重要原理和定理
1. 对偶原理
(1)概念：如果描述两种物 理现象的方程具有相 同的数学形式，并具 有对应的边界条件， 那么它们解的数学形 式也将是相同的，这 就是对偶原理，亦称 为二重性原理。具有 同样数学形式的两个 方程称为对偶方程， 在对偶方程中，处于 同等地位的量称为对 偶量。 (2)静电场与恒定电场 • 对偶方程 • 对偶量
应注意的问题： – 镜像电荷位于待求场域边界之外。 – 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀 空间中媒质特性与待求场域中一致。 – 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原 边界处的边界条件不变。
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 0 在空间的电位为点电荷q 和镜像 电荷 -q 所产生的电位叠加，即
一、静态场特性
• 静态场基本概念 – 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。
V D B 0, 0, 0 t t t
– 静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场 的特例。 – 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电 场。 – 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。 – 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁 场。
唯一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论 根据。镜像法就是唯一性定理的直接应用。
四、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求 场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷
的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据唯一性
定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电 场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法 称为镜像法。 理论依据：唯一性定理是镜像法的理论依据。
E 0
恒定磁场(无源区域)
H 0
B 0
(3)静电场与恒定磁场 • 对偶方程 • 对偶量
D 0
D E
q D dS
S
B H
q m B dS
l
2 0
2m 0
(4)有源情况下的对偶关系 • 对偶关系存在 • 不像上述两种情况那样一目了然
—拉普拉斯方程
3. 恒定磁场的矢量泊松方程和标量拉普拉斯方程 恒定磁场基本方程
l H dl S J c dS B dS 0
S
B H
H Jc B 0
—恒定磁场是无散有旋场。
B H Jc
B A
A Jc
库仑规范
2 A ( A) A Jc
A 0
A J c
2

——矢量泊松方程
A J c
2
分解
2 Ax J x 2 Ay J y 2 Az J z
•
静态场的麦克斯韦方程组
– 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是 彼此独立存在的。
l H dl S J c dS l E dl 0 S D dS vv dV SB dS 0 J c dS 0
静电场(无源区域) 恒定电场(电源外区域)
E 0 E 0
E
D 0 D E
E
Jc 0
J E
2 0
q
S
2 0
I
S
D dS
J c dS
静电场(无源区域)
a1 b2
必然满足拉普拉斯方程。 证明： 2 2
(a1 b2 ) 2 (a 1 ) 2 (b2 ) a 21 b 22
2 2 已知 1和 2 满足拉普拉斯方程 1 2 0
所以：
2 0
利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问 题的组合，便于求解。
拉普拉斯算子（梯度的散度） 直角坐标系
2
2 2 2 2 2 2 2 x y z
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
圆柱坐标系
球坐标系
1 1 1 2 2 2 ( R2 ) 2 (sin ) 2 2 R R R R sin R sin 2
E 0 D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E D E V
无源区域
( ) V
V —泊松方程
2
0
2 0 ——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程 恒定电场基本方程
• 导体表面上感应电荷总量
qS





S dxdy

qd 2π( x2 y 2 d 2 )3/ 2 dxdy q
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
y
y
l
l
r1
P ( x, y , z )
0
h
0 x 0
h
o
r2
x
h
l
l E dl 0 J c dS 0
S
Jc E
E 0 Jc 0
—导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场
E J c E 0
( ) 0
2 0
将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷 对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的 镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 l
l r2 ln 待求场域 ( y 0)中的电位 2π 0 r1 l l ar1 ar 2 上半空间的电场 E 2π 0 r1 2π 0 r2
q zd zd Ez 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 4π 0 x y ( z d ) x y (z d )
•
导体表面感应电荷
qd S Dn 0 Ez 2π( x 2 y 2 d 2 )3/ 2

H 0 B 0 B H H m


2
2 0
2m 0
1 2
1 2 1 2 s n n
1 2
1
1 2 2 n n
m1 m2
1
m1 2 m2 n n
例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 R1和 R2 ，如图所 示，
电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为 求其间各点的电位和电场强度。 解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确 定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用 圆柱坐标系
U ，外导体接地。
R2
1 (r ) 0 积分 A ln r B r r r
边值问题的分类
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值
| f (r )

| g ( r ) 聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 n
混合边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 同时给定另 一部分边界上每一点的电位法向导数。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及唯一性问题。
3. 边值问题分类与解的唯一性定理
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一 特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这 些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该 方程的定解条件。稳恒场的场量与时间无关，因此其位函数所满足 的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边 界条件求解空间任一点的电位就是稳恒场的边值问题。
上半空间的电场强度： E
q x x Ex 4π 0 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2
q y y Ey 4π 0 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2 x 2 y 2 ( z d )2 3/ 2
Jc 0
2
A 0 —矢量拉普拉斯方程
在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 m 来表示磁场强度。即 H m 质，引入标量磁位
H m H 0
2m 0
——标量拉普拉斯方程
注意： 标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。
3. 点电荷对无限大介质平面的镜像
p
R
q q
R
d d
q
1
2
1
1
设想用镜像电 荷代替界面上 极化电荷的作 用，并使镜像 电荷和点电荷 共同作用，满 足界面上的边 界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：
q q 1 4π1R 4π1R
第四章
主要内容：
静态场的解
静态场的特性 泊松方程和拉普拉斯方程 静态场的重要原理和定理 镜像法 分离变量方法 有限差分法
均匀介质中静态电磁场问题比较
静电场 恒定电场(电源外) 恒定磁场（无源区）
E 0 D D E E

E 0 J 0 J E E