拓扑优化算法及其实现
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
if enB min(1, en m)
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
n
C U T F ( e ) pueT keue e1
优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
>Imagesc(-x)
目的：消除棋盘格效应及网格依赖性
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、 形状优化、形貌优化和拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如 板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状 为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上 寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象， 通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方 案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度， 能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
Ke pKe
Ke为惩罚的单元刚度矩阵； Ke为真实的单元刚度矩阵；
[0,1]为每个单元的密度，
是0到1之间的连续变量；
p为总大于1的罚(Penalization)因子，
一般取3，大的罚因子可使密度快
速的趋于0或者1。
优化求解
OC法优化求解
变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优 化（仅有变量上下限约束）
e ——设计变量
(0,1)整数规划问题
[0,1]区间内的单元密度的 连续变量优化问题
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
KU F
e1
s.t.
V 0
() V0 min
1
e ——设计变量
密度变量的引入： 在工程中，材料的刚度线性依赖材
料的密度，即刚度大的材料，密度也大。 比如，钢的密度比铝的密度大，因此钢 的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的 逻辑，就可用单元的密度来代替材料的 有无，如下式
设计变量
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
KU F
e1
s.t.
V 0
() V0 min
1
本质上，结构拓扑优化是 个（ 0,1）整数规划问题，属于 组合优化的范畴。 2n次计算有限 元分析才能求得全局最优解，是 个指数时间算法，非多项式时间 算法，随着单元数量n的增加， 计算量会激增，也即是困扰组合 优 化 领 域 的 NP 难 题 。
拓扑优化简介
拓扑优化设计流程 算例
1 2
SIMP法+OC法
基于99行拓扑优化程序代码
3
top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)
有限元分析
目的：求整体位移矩阵
1
4节点矩形单元
2
4
e
3
Ke BeT DBetdA
B、D、t分别代表什么？？？
Ke
单元刚度矩阵
Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整体刚度矩阵
优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行 结构分析，再按某种优化策略和准则从这些子区域中删除某些单元， 用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
拓扑优化建模方法
变密度法
SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ） (固体各向同性惩罚函数法）
对应于目标函数的拉格朗日函数为：
u
优化设计准则
优化设计准则
上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在
整个设计区域内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变
量迭代格式：
n1 en B ,
B
p(
e
)
u p1 T e
k0ue
ve
n1
max(
en
B
min
,
en
m)
min(1, en m)
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
if enB min(1, en m)
n1
max(
en
B
min
,
en
m)
min(1, en m)
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
图像处理的一个常见问题是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。 主要表现为离散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。
解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991) 证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应 用于拓扑优化，因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。
KU F
U和F为整体位移与载荷
整体节点编排：
划分网格数 (nelx,nely)
1
nely+2
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4 3
局部
6 5
(1)
(4)
e
(2)
(3)
整体
KU F (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
目标函数(min& max)
约束函数
RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ） （材料属性的理性近似模型）
Level Set法 (水平集法) ICM(独立映射法) ESO(进化法) ……
优化求解方法 OC法(优化准则法) MMA法(移动渐进线法) SLP(序列线性规划法） SQP(序列二次规划法) …………
方法：1、高阶单元法（计算量大） 2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部
尺寸和周长边界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能 导致没有计算结果，如果定的太松又达不到预期的效果。因此约束边界很 难确定，这种情况在三维问题下特别明显）
3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细 条的形成，从而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最 佳，并且，这种方法在优化问题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束， 使计算效率大大降低）
4、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对 较为容易，在约束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是 不需要在优化问题中加入额外约束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种 基于启发式求解规则的方法）
网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术
一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个 灰度水平）。假设灰度值是连续变化的。
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
n
C U T F ( e ) pueT keue e1
优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
>Imagesc(-x)
目的：消除棋盘格效应及网格依赖性
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、 形状优化、形貌优化和拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如 板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结构件外形或者孔洞形状 为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上 寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象， 通过拓扑优化，可以在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方 案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化，具有更多的设计自由度， 能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
Ke pKe
Ke为惩罚的单元刚度矩阵； Ke为真实的单元刚度矩阵；
[0,1]为每个单元的密度，
是0到1之间的连续变量；
p为总大于1的罚(Penalization)因子，
一般取3，大的罚因子可使密度快
速的趋于0或者1。
优化求解
OC法优化求解
变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优 化（仅有变量上下限约束）
e ——设计变量
(0,1)整数规划问题
[0,1]区间内的单元密度的 连续变量优化问题
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
KU F
e1
s.t.
V 0
() V0 min
1
e ——设计变量
密度变量的引入： 在工程中，材料的刚度线性依赖材
料的密度，即刚度大的材料，密度也大。 比如，钢的密度比铝的密度大，因此钢 的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的 逻辑，就可用单元的密度来代替材料的 有无，如下式
设计变量
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
KU F
e1
s.t.
V 0
() V0 min
1
本质上，结构拓扑优化是 个（ 0,1）整数规划问题，属于 组合优化的范畴。 2n次计算有限 元分析才能求得全局最优解，是 个指数时间算法，非多项式时间 算法，随着单元数量n的增加， 计算量会激增，也即是困扰组合 优 化 领 域 的 NP 难 题 。
拓扑优化简介
拓扑优化设计流程 算例
1 2
SIMP法+OC法
基于99行拓扑优化程序代码
3
top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)
有限元分析
目的：求整体位移矩阵
1
4节点矩形单元
2
4
e
3
Ke BeT DBetdA
B、D、t分别代表什么？？？
Ke
单元刚度矩阵
Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整体刚度矩阵
优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行 结构分析，再按某种优化策略和准则从这些子区域中删除某些单元， 用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
拓扑优化建模方法
变密度法
SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ） (固体各向同性惩罚函数法）
对应于目标函数的拉格朗日函数为：
u
优化设计准则
优化设计准则
上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在
整个设计区域内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变
量迭代格式：
n1 en B ,
B
p(
e
)
u p1 T e
k0ue
ve
n1
max(
en
B
min
,
en
m)
min(1, en m)
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
if enB min(1, en m)
n1
max(
en
B
min
,
en
m)
min(1, en m)
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
图像处理的一个常见问题是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。 主要表现为离散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。
解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991) 证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应 用于拓扑优化，因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。
KU F
U和F为整体位移与载荷
整体节点编排：
划分网格数 (nelx,nely)
1
nely+2
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4 3
局部
6 5
(1)
(4)
e
(2)
(3)
整体
KU F (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
目标函数(min& max)
约束函数
RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ） （材料属性的理性近似模型）
Level Set法 (水平集法) ICM(独立映射法) ESO(进化法) ……
优化求解方法 OC法(优化准则法) MMA法(移动渐进线法) SLP(序列线性规划法） SQP(序列二次规划法) …………
方法：1、高阶单元法（计算量大） 2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部
尺寸和周长边界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能 导致没有计算结果，如果定的太松又达不到预期的效果。因此约束边界很 难确定，这种情况在三维问题下特别明显）
3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细 条的形成，从而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最 佳，并且，这种方法在优化问题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束， 使计算效率大大降低）
4、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对 较为容易，在约束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是 不需要在优化问题中加入额外约束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种 基于启发式求解规则的方法）
网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术
一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个 灰度水平）。假设灰度值是连续变化的。