地震作用计算——地震反应分析

k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
4.2.2 振动微分方程及解答
二、多自由度体系
例:若为两个自由度,令n=2，则有
将求出的w1、w2分别代回方程，可求出X1 、X2的相对值。
对应于w1为第一振型：
X 11 X 12
k12
k11 12m2
——质量与绝对加速度的乘积
fI m[xg (t) x(t)]
4.2.2 振动微分方程及解答 一、单自由度体系
质点m的绝对加速度: a xg（t ) x(t )
由牛顿第二定律: F a m kx t cxt m[xt xg t ]
mx(t) cx(t) kx(t) mxg (t)
后来引入了“区域差异系数”、 “结构类型系数”、“高度变化系数”， 一定程度考虑了场地因素、结构种类 和变形的影响。但是仍无法考虑结构 刚度、震动持续时间的影响，也未反 映远震近震的影响。
由此提出新的问题： 为什么烈度相同的不同场地上结构的地震反应存在
差别？ 为什么烈度相同震中距不同也会造成地震反应的差
一个好的发展方向，好好地生活，为 了爱自 己的人 和自己 爱着的 人。
这个世界已经没有了安静的可能，永远 那么嘈 杂。午 夜，一 个带着 黑色的 词 语，能给人的心带来一丝平静。人
目录：第一章
第二章
第三章
➢
第四章
第五章
第六章
第七章
第八章
第九章
第十章
地震灾害与对策 抗震设防水准 建筑选址与建筑、结构方案 地震作用计算（一） 地震作用计算（二） 混凝土结构抗震承载力及位移计算 混凝土结构抗震构造措施 地基与基础 砌体结构、钢结构、单层工业厂房抗震设计 防震和耗能减震设计
度”，所以该方法成为震度法）取K=0.2
最初的等效静力法只考虑了结构的质量和烈度（地运动 加速度），其主要特点是： 1）将建筑物看作一个刚体与地面一起运动； 2）将地震对建筑的影响等效为静荷载“静力”； 3）没有考虑结构和场地的动力特性； 4）偏于保守 。
考虑到实际结构并非刚体，具有弹性或弹塑性性质，多数 情况下顶部的位移、速度以及加速度都较下部为大，所以引 入了“高度变化系数”。地震力沿高度变化如下图示：
单质点弹性体系在地 震作用下的微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程特解
1. 齐次微分方程的通解——自由振动
x(t) 2 x(t) 2 x(t) 0
在没有外力激
励的情况下结 构体系的运动
几个基本物理量： 圆频率： k
m
周期：
T
2
频率： f 1
Leabharlann Baidu
T
阻尼比：
体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地
面运动引起。若体系无初速度和初位移，则体系地震反应中的自由振动项
为零。即使体系有初位移和初速度，由于体系有阻尼，由x1（t）式子可知， 体系的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅取体系强迫
振动项，即x2（t），计算单自由度体系的地震位移反应。
抗震计算设计的过程：计算地震作用（荷载）—— 计 算 结 构 的 地 震 作 用 效 应 （ 内 力 、 变 形 ） —— 承 载 力 计 算 —— 变形验算
地震作用效应的计算是一个复杂的动力学问题，涉及到 地震的影响、结构本身的动力特性（自振周期、阻尼）、场 地的特性等。
地震作用下结构的计算方法
情，感悟一种人生，给惴惴不安的心 一点养 分，学 会成长 ，学会 做人。
我不认为叛逆才是青春时代的主流，在 我看来 这些都 是不现 实的做 法，叛 逆 能给我们带来很多不利的东西。这段 懵懂的 岁月， 容易让 人走向 错误。 可是， 在 很多关于青春的电影或故事里，总也 少不了 这个词 。也许 人生应 该有一 个轨迹 ，
4.2.2 振动微分方程及解答
各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动
0 0 1 1 1
4.2.2 振动微分方程及解答 2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
利用数值积分的思路进行求解： 1、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 2、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 3、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知 （只是初速度不同）。 4、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加 （积分）
由此可求出n个圆频率，其中最小的叫第一圆频率。 将wi 依次回代方程可得到相对的振幅{X}i，即为振型。
4.2.2 振动微分方程及解答 二、多自由度体系 例:若为两个自由度,令n=2，则有
k11 k21
k12 k22
2
M1 0
0
M
2
0
k11 2M1
k21
k22
k12
2
M
2
0
2
1 2
相当于地震产生的作
单质点弹性体系在地 震作用下的微分方程
用于结构上的强迫力
x(t)
c m
x(t)
k m
x(t)
xg
(t)
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
2
x(t) 2 2
c km
k m
x(t)
k m
x(t) xg (t)
4.2.2 振动微分方程及解答
运动方程的解：
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
一、地震作用 地震时由于地面加速度在结构上产生的惯性力称为结构
的地震作用。(地震波 地面运动 上部结构的受迫振动 惯性力)
地震作用的简化：两个水平方向，一个竖向。
二、地震反应 地震作用下，在结构中产生的内力、变形、位移、速
度和加速度等称为结构的地震反应（地震作用效应）。
三、地震反应分析
用计算的方法来确定结构的地震反应，也就是考虑地震 作用的结构计算方法。（地震力理论）
确定性方法
非确定性方法——随机振动分析
静态分析（最不利状态分析）
动态分析（全过程时程分析）
等效静力法
反应谱理论
弹性全过程分析 弹塑性全过程分析
简化的底部剪力法 振型分解反应谱法
四、对结构地震反应分析的基本认识 难以准确计算
原因： 1.需准确知道地面运动，而这是不确定的； 2.结构材料的力学性能的不确定性； 3.结构和地基的相互影响、协同工作的不确定性。
c
c
2 km 2m
一般结构的阻尼 比0.01~0.1之间， 一般取0.05
4.2.2 振动微分方程及解答 运动方程的解：
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
通解
x1(t) e t(c1 cos 1 - 2 t c2 sin 1 - 2 t)
当 很小时 '
1- 2 （有阻尼的圆频率）
反应谱法是我国及世界上其他国家抗震规范中地震 作用计算的基本方法。 4.3.1 反应谱的含义
在特定的干扰作用下，单自由度弹性体系的最大反应与 自振周期T的变化关系曲线即反应谱。
基本思路：实际应用时根据结构体系的自振周期找到对 应的加速度反应峰值，在结合结构上的质量（或重力荷载） 求出结构所受地震作用力和结构变形。计算出的结构体系的 最大反应随自振周期的变化曲线就是反应谱。
作用在质点上的三种力：
＊弹性恢复力 fs
——使质点从振动位置回到平衡位置的力
fs kx(t ) k —刚度系数
＊阻尼力 fR
——使结构振动衰减的力，由外部介质阻力、 构件和支座部分连接处的摩擦和材料的非弹性 变形以及通过地基散失能量（地基振动引起） 等原因引起
fR cx(t ) C —阻尼系数
＊惯性力 fI
【例】：已知一水塔结构，可简化为单自由度体系，
m=10000kg，k=1kN/cm，求该结构的自振周期。
4.2.2 振动微分方程及解答 二、多自由度体系
如图所示，将质量集中于各楼面 标高处并视为指点，一般忽略竖向位 移和转动，基础为刚性底盘，从而形 成自由度与质点数相对应的多自由度 体系。
系数行列式： k 2 M 0
有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于15° 时，应分 别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。
4.2.2 振动微分方程及解答
一、单自由度体系
xg (t) x(t)
fR
fI
fS
假定地基 完全刚性
xg (t)
——地面水平位移，可由地震
时地面运动实测记录求得。
x(t) ——质点对于地面的相对弹性
位移或相对位移反应。
在过了这段日子之后，生活开始安静。 也许是 脚步不 在梦想 的前面 ，也许 是 我们都不再年少轻狂。生活有很多使 人动情 的故事 ，也有 很多让 人伤感 的不得 志
。很多时候在想，是不是需要一份坦 然，带 着追求 的坦然 。
智者说：其实生活还有很多东西可以去 理解， 去珍藏 。也有 很多故 事去体 会 或追忆。
a、单层房屋
b、水塔建筑
m
H
L
主要质量：屋面部分
梁、柱、屋 面质量
集中到屋顶标高处
单质点体系
h
h
主要质量(a)：水水塔箱部分 次要质量：塔柱部分
水箱全部质量 部分塔柱质量
集中到水箱质心
4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定
(a) 水根(塔a据) 上水述塔可以对某些结构进行简化，如下(图(bb)示) 厂厂：房房
喜欢看那本《青年文摘》，很仔细地找 到叫青 春风铃 和成长 笔记的 页码， 那 里会有许多关于青春期的故事，梳理 一下会 冲动的 心情。 那些故 事的情 愫，总 是 写满了青春的多情。在青春的岁月里 ，总会 有猝不 及防的 伤害， 入侵易 碎的心 灵 ，正像所说的那么明媚。也许，这才 是真正 的青春 格调。 读一则 故事， 邂逅一 段
c、多、高层建筑
d、烟囱
c) 多(、c)主高多要层、质建高量筑层：楼建盖筑部分
各跨质量 集中到各跨屋盖标高处
多质点体系
结构(无d(d)明)显烟烟主囱囱要质量部分
结构分成若干区域 集中到各区域质心
多质点体系
4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定 地震作用有三个方向：两个水平方向，一个竖向
一般情况下，应允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算 水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应 由该方向抗侧力构件承担。
根据牛二定律，结构上的质量乘以加速度等于惯
性力。以x代表位移，x对时间的微分为速度，二阶微分为
加速度。将结构看做刚体，则结构与地面具有相同的加速
度。结构第i层受到的最大惯性力为：
Fi
mi xg m ax
mi g
xg m ax g
KGi
式中：mi为第i层的总质量，Gi为第i层的 重力，K成为地震系数（日本称之为“震
4.2.2 振动微分方程及解答 2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
4.2.2 振动微分方程及解答
2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
x 2(t )
1
'
0txg( )e (t ) sin ’(t
)d
体系地震反应x（t）=自由振动反应x1（t）+强迫振动反应x2（t）
对应于w2为第二振型：
X 21 X 22
k 12
k11 22m1
4.2.2 振动微分方程及解答
4.2.2 振动微分方程及解答 【例】：设图示钢架横梁刚度为无限大，集中于楼面和
屋面的质量m1=m2=m层间侧移刚度k1=k2=k，试求该钢架水平 振动时的自振频率和阵型。
4.2.2 振动微分方程及解答 3质点体系弯曲振动的3个振型：
异？ 在相同的干扰作用下，结构所受惯性力仅仅与质量
相关么？
4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定 体系的自由度：
一个自由质点,若不考虑其转动,则相对于空间坐标 系有3个独立的唯一分量,因而有三个自由度,而在平面 内只有两个自由度。一个自由刚体具有六个自由度，即 沿三个坐标轴的位移分量和绕三个轴的转动分量。
如果忽略直杆的轴向变形，则在平面内与直杆相连 的质点只有一个位移分量，即只有一个自由度。n层房 屋就具有n个自由度。具体如图所示：
4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定 体系的自由度：
单质点单 自由度
3质点3自 由度
单质点2 自由度
4.2.1 结构体系的振动模型及通常的简化假定
根据上述可以对某些结构进行简化，如下图示：
五：地震作用的确定方法 结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段: 1.静力理论阶段---静力法
1920年，日本大森房吉提出。假设建筑物为绝对刚体。
2.反应谱理论---振型分解反应谱法
1940年美国皮奥特教授提出。是目前世界上普遍采用的方法。
3.直接动力分析理论---时程分析法
1960年以后，随着计算机的应用推广而产生，将实际地震加速度时程 记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构 的地震响应分析。用于大震分析计算以及大型、复杂结构的地震反应计算。