利用判别式求值域时应注意的问题

利用判别式求值域时应注意的问题

用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：

一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验 例：求函数3

22122+-+-=x x x x y 的值域。 错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+-+-y x y x y （＊）

∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得

21103≤≤y 。 故所求函数的值域是]21,103[

错因：把21=y 代入方程（＊）显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。事实上，21=y 时，方程（＊）的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。

正解：原式变形为0)13()12()12(2

=-+-+-y x y x y （＊） （1）当2

1=

y 时，方程（＊）无解； （2）当2

1≠y 时，∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103<≤y 。 综合（1）、（2）知此函数的值域为)21,103[ 二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化

例2：求函数6

3422-+++=x x x x y 的值域。 错解：将函数式化为0)36()4()1(2=+--+-y x y x y

（1）当1=y 时，代入上式得093=--x ，∴3-=x ，故1=y 属于值域；

（2）当1≠y 时， 0)25(2≥-=∆y ，

综合（1）、（2）可得函数的值域为R y ∈。

错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3-=x 与2=x 虽不在定义域内，但是方程的根），因此最后应该去掉3-=x 与2=x 时方程中相应的y 值。所以正确答案为1|{≠y y ，且}5

2≠y 。

三、注意变形后函数值域的变化

例3：求函数21x x y -+=的值域。 错解：由已知得21x x y -=- ①，两边平方得221)(x x y -=- ②

整理得012222=-+-y yx x ，由0)1(8)2(22≥---=∆y y ，解得22≤≤-

y 。 故函数得值域为]2,2[-。

错因：从①式变形为②式是不可逆的，扩大了y 的取值范围。由函数得定义域为]1,1[-易知1-≥≥x y ，因此函数得最小值不可能为2-。∵1-=x 时，1-=y ，∴1min -=y ，故函数的值域应为]2,1[-。

四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性

例4：求函数5

422++=x x y 的值域。 错解：令42+=

x t ，则12+=t t y ，∴02=+-y t yt ，由0412≥-=∆y 及0>y 得值域为]2

1,0(∈y 。

错因：解法中忽视了新变元t 满足条件2≥t 。∴设y t yt t f +-=2)(，0>y ，),2[+∞∈t ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤>>≥∆2210)2(0)2(0,0y

f f y 或520≤<⇔y 。故函数得值域为]520，（。 综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。