理论力学 第13章 虚位移原理及拉格朗日方程
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主动力作用点的坐标为
变分得
Theoretical Mechanics
弹簧DE在图示位置的长度为2lcos ，其原长为l，伸长量＝2l cos –l＝ (2cos –1)l，于是弹簧作用于D、E上的
拉力的大小为
将以上关系代入虚功方程
13.4 例 题 分 析
变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广 义坐标表示的情况下。
若
则该系统处于随遇平衡状态。
Theoretical Mechanics
返回首页
13.1 主要内容
13.1.5 动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质 点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和 等于零，即
这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔—拉格朗日方程）。 写成直角坐标系上的投影式为
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数， 称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示 了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若引入拉格朗日函数：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 返回首页
13.2 基本要求
Theoretical Mechanics
通方程解决动力学问题。
５.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体
运动的稳定性。
Theoretical Mechanics
返回首页
13.3 重点讨论
Theoretical Mechanics
返回首页
13.3 重点讨论
13.3 重点讨论
用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学
中虚功的概念。对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方
虚位移用ri表示，以区别于实位移dri。这里的“”是等时变
分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中,它的运算规则
与微分算子“d”的运算规则相同。
（2）虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所做的元功称为虚 功，则虚功的表达式为
Theoretical Mechanics
返回首页
13.1 主要内容
（3）理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束力所做的虚功之和 等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表 示为
解：系统为二自由度保守系统
。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位 于弹簧自然长度位置， 逆时针
转向为正。
系统动能
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平
面为重力势能零点）
Theoretical Mechanics
返回首页
拉格朗日函数 代入拉氏方程 化简得
13.4 例 题 分 析
即
系统的运动微分方程。
性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法，拉格朗
日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动
力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义
坐标表示的动能和势能表达式，其他问题就是严格的数学求解
问题了。它对于解决多自由度的动力学问题，提供了简便的方
法，但物理意义不明确。
Theoretical Mechanics
例13-2 图示滑块D和弹簧套在光滑直杆AB上，已知＝0
时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5kN/m。求在任意位置角
平衡时，应加多大的力偶M？
解：解除弹簧约束，用弹性力F 、F 代替，设机构发生虚位移
根据虚位移原理
D点的虚位移应满足点的合成 运动的几何关系
将以上关系代入虚功方程
N·m
虚位移之间的关系，利用了点的合成运动中有关速度的概念。所以此 法称为虚速度法。一般应用于有刚体平面运动、点的合成运动的过程中。
返回首页
由于AO=CO，
因此A＝C，
13.4 例 题 分 析
结论：对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作 用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时 转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的
Theoretical Mechanics
返回首页
13.4 例 题 分 析
例13-6 二均质轮的m、R相同，用轻质绳缠绕连接如图
在动力学普遍方程中不包含约束力。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.6 拉格朗日方程
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普 遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义 坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日 方程，实现用最少数目的方程描述动力系统，即
13.1.1 虚位移的基本概念 １.约束及其分类 （1）约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。 用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。 （2）约束的分类 a .几何约束和运动约束 b .定常约束和非定常约束 c .完整约束和非完整约束 d .双面约束和单面约束 约束方程的一般形式应为
保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义 力均等于零，即
Qh＝0 h＝1,2,…,k 直角坐标系下的广义力表达式为
也可用几何法表示为
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.4平衡稳定性的概念 在保守系统中： (1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平 衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡。 (2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种 平衡状态称为不稳定平衡。 (3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随 遇平衡。
Theoretical Mechanics
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例13-3 多跨静定梁，求支座B处约束力。 解：将支座B 除去，代入相应的约束力
根据虚位移原理（几何法）
13.4 例 题 分 析
，并发生虚位移。
由虚位移几何关系
几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。
Theoretical Mechanics
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13.4 例 题 分 析
Theoretical Mechanics
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13.4 例 题 分 析
例13-1 椭圆规机构，连杆AB长l，铰链为光滑的，求在 图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。
解：研究整个机构。系统的所 有约束都是完整、定常、理想的。
1、虚速度法：使A发生虚
位移 ，B的虚位移 ，则 由虚位移原理，得虚功方程：
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<5o, cos ≈1,
sin ≈ ，略去二阶以上无穷小量，则
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束
按主动力处理的约束力）。所以能够容易地求解出平衡时所受
主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。
在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题
是找出质点系中各力作用处相应的虚位移之间的关系。
动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯
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13.2 基本要求
13.2 基本要求
１.对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。
２.会计算虚位移的关系（几何法、虚速度法、变分法）。
能正确地运用虚位移院里求解物系的平衡问题。
３.对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移
原理有初步的理解，并会计算广义力。
４.理解动力学普通方程的基本概念。能正确运用动力学普
Theoretical Mechanics
i＝1,2,…,n， j＝1,2,…,s
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13.1 主要内容
２.自由度 广义坐标 （1）自由度 a.设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k 为
k＝3n–s 若质点系为平面问题，则
k＝2n–s b.设某质点系由n个刚体、s个完整约束组成。则自由度数 k为
单自由度系统平衡稳定性的判别方法：
如果质点系在坐标q=qo的位置上是平衡的，那么它的势
能具有极值，即
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
若
稳定平衡 若
不稳定平衡
若
则需要分析更高的偶数阶导数的正、负性质，才能判别 平衡的稳定性。
若
稳定平衡状态
反之，则为不稳定平衡状态。
虚位移关系（投影定理）
代入虚功方程得
由于
得
Theoretical Mechanics
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2、变分法 由于系统为单自
由度，取为广义坐标。
13.4 例 题 分 析
由虚位移原理（直角坐标投影形式 ）
将虚位移关系代入虚功方程得
由于
，故
Theoretical Mechanics
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13.4 例 题 分 析
虚位移原理的矢量表达式为
在直角坐标系的投影表达式
以上各式也称为虚功方程。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
（2）虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。 a.已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平 衡位置。 b.已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。 在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使 待求的内力或约束力“转化”为主动力。 （3）用广义力表示质点系的平衡条件 具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置
Theoretical Mechanics
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13.4 例 题 分 析
例13-5 图示为三铰拱支架，求由于不对称载荷F1和F2作 用在铰链B处所引起的水平约束力FBx。
解：解除铰链B水平方向的约束 ，以约束力FBx代替。
设系统发生一虚位移，A， rO ，xB，C。
根据虚位移原理 ：
即
Theoretical Mechanics
k＝6n–s 若为平面问题，则为
k＝3n–s （2）广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整 约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.2 虚位移 虚功 （１）在给定的位置上，质点系为所有约束所允许的无限 小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所允许的位移； 第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；
例如：①光滑面约束； ②光滑铰链约束； ③对纯滚动刚体的固定面约束； ④无重钢杆(二力杆)约束； ⑤不可伸长的绳索约束。
都是理想约束。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.3 虚位移原理及应用 （１）虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置 保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动 力在任何虚位移中所做的虚功之和等于零，即
。求在重力作用下轮Ⅱ中心的加速度。 解：（1）解法一：考虑整个系统，引入惯性力及惯性力
偶，方向如图，大小为
设系统发生虚位移，由动力 学普遍方程
几何关系
Theoretical Mechanics
13.4 例 题 分 析
解得 （2）解法二：加惯性力后，给 虚位移。 计算虚功(考虑约束关系)
Theoretical Mechanics
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即 解得
解得
Theoretical Mechanics
13.4 例 题 分 析
13.4 例 题 分 析
例13-7 楔形体重P，倾角，在光滑水平面上。圆柱体
重Q，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最 高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度。
解：研究整体系统。具有两个 自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标 原点均在初始位置。
系统的势能：取水平面为重力势能零点。
系统的动能：
Theoretical Mechanics
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拉格朗日函数：
13.4 例 题 分 析
代入保守系统拉氏方程 并适当化简，得到系统的运动微分方程。
解得楔形体的加速度为
Theoretical Mechanics
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13.4 例 题 分 析
例13-8 已知：刚度系数为k ，滑块质量为m1,水平面光滑 单摆长l ，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
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13.4 例 题 分 析
例13-4 在图示的机构中，AE＝BD＝2l，DH＝EH＝l。弹 簧刚度系数为k，弹簧的原长为l。铰链H上作用力FH，并使该
机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角
之间的关系。
解：取为广义坐标。解除弹簧 约束，用相应的弹性力F、F代替，
并视之为主动力，如图所示。 根据虚位移原理
理论力学 第13章 虚位 移原理及拉格朗日方程
2020年4月29日星期三
13.1 主要内容 13.2 基本要求 13.3 重点讨论 13.4 例题分析 13.5 典型习题
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
变分得
Theoretical Mechanics
弹簧DE在图示位置的长度为2lcos ，其原长为l，伸长量＝2l cos –l＝ (2cos –1)l，于是弹簧作用于D、E上的
拉力的大小为
将以上关系代入虚功方程
13.4 例 题 分 析
变分法一般应用于力的投影、力的作用点的坐标容易用广 义坐标表示的情况下。
若
则该系统处于随遇平衡状态。
Theoretical Mechanics
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13.1 主要内容
13.1.5 动力学普遍方程 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质 点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所做虚功之和 等于零，即
这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔—拉格朗日方程）。 写成直角坐标系上的投影式为
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数， 称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示 了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若引入拉格朗日函数：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Theoretical Mechanics
保守系统的拉格朗日方程。 返回首页
13.2 基本要求
Theoretical Mechanics
通方程解决动力学问题。
５.能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题，并判断物体
运动的稳定性。
Theoretical Mechanics
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13.3 重点讨论
Theoretical Mechanics
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13.3 重点讨论
13.3 重点讨论
用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学
中虚功的概念。对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方
虚位移用ri表示，以区别于实位移dri。这里的“”是等时变
分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中,它的运算规则
与微分算子“d”的运算规则相同。
（2）虚功 作用于质点上的力在该质点的虚位移中所做的元功称为虚 功，则虚功的表达式为
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13.1 主要内容
（3）理想约束 在质点系的任何虚位移中，如果约束力所做的虚功之和 等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表 示为
解：系统为二自由度保守系统
。取x , 为广义坐标，x 轴 原点位 于弹簧自然长度位置， 逆时针
转向为正。
系统动能
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平
面为重力势能零点）
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拉格朗日函数 代入拉氏方程 化简得
13.4 例 题 分 析
即
系统的运动微分方程。
性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法，拉格朗
日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动
力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义
坐标表示的动能和势能表达式，其他问题就是严格的数学求解
问题了。它对于解决多自由度的动力学问题，提供了简便的方
法，但物理意义不明确。
Theoretical Mechanics
例13-2 图示滑块D和弹簧套在光滑直杆AB上，已知＝0
时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5kN/m。求在任意位置角
平衡时，应加多大的力偶M？
解：解除弹簧约束，用弹性力F 、F 代替，设机构发生虚位移
根据虚位移原理
D点的虚位移应满足点的合成 运动的几何关系
将以上关系代入虚功方程
N·m
虚位移之间的关系，利用了点的合成运动中有关速度的概念。所以此 法称为虚速度法。一般应用于有刚体平面运动、点的合成运动的过程中。
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由于AO=CO，
因此A＝C，
13.4 例 题 分 析
结论：对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作 用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时 转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的
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例13-6 二均质轮的m、R相同，用轻质绳缠绕连接如图
在动力学普遍方程中不包含约束力。
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13.1 主要内容
13.1.6 拉格朗日方程
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普 遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义 坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日 方程，实现用最少数目的方程描述动力系统，即
13.1.1 虚位移的基本概念 １.约束及其分类 （1）约束和约束方程 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。 用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。 （2）约束的分类 a .几何约束和运动约束 b .定常约束和非定常约束 c .完整约束和非完整约束 d .双面约束和单面约束 约束方程的一般形式应为
保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义 力均等于零，即
Qh＝0 h＝1,2,…,k 直角坐标系下的广义力表达式为
也可用几何法表示为
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13.1 主要内容
13.1.4平衡稳定性的概念 在保守系统中： (1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平 衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡。 (2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种 平衡状态称为不稳定平衡。 (3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随 遇平衡。
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例13-3 多跨静定梁，求支座B处约束力。 解：将支座B 除去，代入相应的约束力
根据虚位移原理（几何法）
13.4 例 题 分 析
，并发生虚位移。
由虚位移几何关系
几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。
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13.4 例 题 分 析
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13.4 例 题 分 析
例13-1 椭圆规机构，连杆AB长l，铰链为光滑的，求在 图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。
解：研究整个机构。系统的所 有约束都是完整、定常、理想的。
1、虚速度法：使A发生虚
位移 ，B的虚位移 ，则 由虚位移原理，得虚功方程：
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 <<5o, cos ≈1,
sin ≈ ，略去二阶以上无穷小量，则
上式为系统在平衡位置(x =0, =0)附近微幅运动的微分方程。
程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束
按主动力处理的约束力）。所以能够容易地求解出平衡时所受
主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。
在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题
是找出质点系中各力作用处相应的虚位移之间的关系。
动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯
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13.2 基本要求
13.2 基本要求
１.对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。
２.会计算虚位移的关系（几何法、虚速度法、变分法）。
能正确地运用虚位移院里求解物系的平衡问题。
３.对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移
原理有初步的理解，并会计算广义力。
４.理解动力学普通方程的基本概念。能正确运用动力学普
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i＝1,2,…,n， j＝1,2,…,s
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13.1 主要内容
２.自由度 广义坐标 （1）自由度 a.设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。则自由度数k 为
k＝3n–s 若质点系为平面问题，则
k＝2n–s b.设某质点系由n个刚体、s个完整约束组成。则自由度数 k为
单自由度系统平衡稳定性的判别方法：
如果质点系在坐标q=qo的位置上是平衡的，那么它的势
能具有极值，即
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13.1 主要内容
若
稳定平衡 若
不稳定平衡
若
则需要分析更高的偶数阶导数的正、负性质，才能判别 平衡的稳定性。
若
稳定平衡状态
反之，则为不稳定平衡状态。
虚位移关系（投影定理）
代入虚功方程得
由于
得
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2、变分法 由于系统为单自
由度，取为广义坐标。
13.4 例 题 分 析
由虚位移原理（直角坐标投影形式 ）
将虚位移关系代入虚功方程得
由于
，故
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13.4 例 题 分 析
虚位移原理的矢量表达式为
在直角坐标系的投影表达式
以上各式也称为虚功方程。
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（2）虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。 a.已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平 衡位置。 b.已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。 在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使 待求的内力或约束力“转化”为主动力。 （3）用广义力表示质点系的平衡条件 具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置
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例13-5 图示为三铰拱支架，求由于不对称载荷F1和F2作 用在铰链B处所引起的水平约束力FBx。
解：解除铰链B水平方向的约束 ，以约束力FBx代替。
设系统发生一虚位移，A， rO ，xB，C。
根据虚位移原理 ：
即
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k＝6n–s 若为平面问题，则为
k＝3n–s （2）广义坐标 用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整 约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。
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13.1.2 虚位移 虚功 （１）在给定的位置上，质点系为所有约束所允许的无限 小位移，称为此质点或质点系的虚位移。 虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所允许的位移； 第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；
例如：①光滑面约束； ②光滑铰链约束； ③对纯滚动刚体的固定面约束； ④无重钢杆(二力杆)约束； ⑤不可伸长的绳索约束。
都是理想约束。
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13.1.3 虚位移原理及应用 （１）虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置 保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动 力在任何虚位移中所做的虚功之和等于零，即
。求在重力作用下轮Ⅱ中心的加速度。 解：（1）解法一：考虑整个系统，引入惯性力及惯性力
偶，方向如图，大小为
设系统发生虚位移，由动力 学普遍方程
几何关系
Theoretical Mechanics
13.4 例 题 分 析
解得 （2）解法二：加惯性力后，给 虚位移。 计算虚功(考虑约束关系)
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即 解得
解得
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13.4 例 题 分 析
13.4 例 题 分 析
例13-7 楔形体重P，倾角，在光滑水平面上。圆柱体
重Q，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最 高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度。
解：研究整体系统。具有两个 自由度。取广义坐标为x, s ；各坐标 原点均在初始位置。
系统的势能：取水平面为重力势能零点。
系统的动能：
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拉格朗日函数：
13.4 例 题 分 析
代入保守系统拉氏方程 并适当化简，得到系统的运动微分方程。
解得楔形体的加速度为
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13.4 例 题 分 析
例13-8 已知：刚度系数为k ，滑块质量为m1,水平面光滑 单摆长l ，摆锤质量为m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
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13.4 例 题 分 析
例13-4 在图示的机构中，AE＝BD＝2l，DH＝EH＝l。弹 簧刚度系数为k，弹簧的原长为l。铰链H上作用力FH，并使该
机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角
之间的关系。
解：取为广义坐标。解除弹簧 约束，用相应的弹性力F、F代替，
并视之为主动力，如图所示。 根据虚位移原理
理论力学 第13章 虚位 移原理及拉格朗日方程
2020年4月29日星期三
13.1 主要内容 13.2 基本要求 13.3 重点讨论 13.4 例题分析 13.5 典型习题
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13.1 主要内容
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