裂隙岩体裂隙网络渗流模型研究
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第 17 卷第 2 期 1997 年 6 月
矿 冶 工 程
MINING AND METALL URGICAL ENGINEERING
Vol. 17 № 2 J une 1997
裂隙岩体裂隙网络渗流模型研究
贺少辉 廖国华 ①
( 北方交通大学土木工程学院 ,北京 ,100044) ① ( 北京科技大学资源工程学院 ,北京 ,100083)
1 , 节点 v i 为裂隙段 ej 的始点
m ij =
= 0
( 4)
113 裂隙网络的邻接矩阵
将单一裂隙的张开度 、 粗糙度 、 裂隙段长度 称为裂隙网络图 G 〈 V , E〉 边之权 。 赋权裂隙网 络的邻接矩阵 S = [ S ij ] n ×n 中的元素为 :
S ij = Pij , 裂隙段 ( v i , v j ) ∈ E 带权 Pij
H— — —水头 (
收稿日期 1996 205 216 第 1 作者 男 博士
图1 裂隙渗流网络及相应的图 G 〈 V , E〉
裂隙网络 G 有以下基本特征 [ 3 ,4 ] : ( 1) 每一有向裂隙段及其两端点构成裂隙 网络的基本单元 。 ( 2) 若节点 v i 为裂隙段 ej 的端点 , 称 ej 衔 接于节点 v i ; 与节点 v i 相衔接的裂隙段条数称 为节点 v i 的度数 ; 若裂隙段的两端点均为一
第2期
贺少辉等 : 裂隙岩体裂隙网络渗流模型研究
13
Ij — — —裂隙单元水力梯度 ;
Δ HΓ — — —条形基元上 、 下游边界水压差 ; n′ — —节点 i 处相交的裂隙段条数 ( 即节点 i — 度数) ; m′ — —形成回路的裂隙段条数 ( 即回路维 c — 数) ;
Sp — — —条形基元中裂隙段条数 。
2 裂隙岩体裂隙网络渗流模型的
建立
Witt ke [ 5 ] 提出了比较复杂的反映裂隙岩体 裂隙渗流情况的离散模型 , 认为裂隙岩体的渗 透空间由组成裂隙网络的裂隙个体组成 。Wit2
t ke 线素模型的基本方程组为 : ( 1) 节点流量守恒方程
q ∑
n′
i
0 , 节点 v i 与裂隙段 ej 不关联
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
http://www.cnki.net
12
Baidu Nhomakorabea
矿 冶 工 程
第 17 卷
度 , 则为孤立裂隙 。 ( 3) 给定图 G =〈 V , E〉 。 设 G 中顶点 ( 节 点) 和 边 ( 裂 隙 段 ) 的 交 替 序 列 为 Γ = v 0 e1 v 1 e2 v 2 …ei v i , 若 Γ 满足如下条件 : v i - 1 和
L ・H = Q 0
T
0
b2
0 0
… …
0 0
0
… 0
… … 0 0
… … … bm
( 9)
( 17 )
其中 , L = M ・A ・K ・M , 为 n ×n 阶裂隙渗 流网络总体传导矩阵 ; Q 0 = M d ・P - Q , 为等 效节点流量列向量 。 当部分边界节点上的水头已知时 ( 即为第 一类边界) ,将这些节点所在的方程从岩体裂隙 网络渗流方程 ( 17 ) 中分离出来 , 裂隙岩体裂隙 网络渗流模型则变为 : ( 18 ) [L ]・ [ H] = [ Q ] 式中 [ H ] 为只包含内部节点和第二类边界节 点 ( 已知流量边界节点) 的水头项 。 将连通的裂隙网络中各裂隙段的长度 l j ( j = 1 , 2 , …, m ) 作为岩体裂隙渗流网络的权 , 如
( 2) 回路压力守恒方程
lI ∑
m′
c
j j
= 0 , c = 1 , 2 , …, r
( 7)
( 3) 条形基元水压差
∑l I
S
p
j j
= Δ HΓ , p = 1 , 2 , …, t
( 8) 0
式中 qj — — —裂隙单元的流量 ;
http://www.cnki.net
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
ΔH、 Δ Hj 、 式中 q 、 P、 Q 分别为 qj 、 Pj 、 Q i 所构 成的列向量 ,Δ Hj 为裂隙段两端点的水头差 ,
M d 为将关联矩阵 M 中的元素 - 1 代之以 1 所
关联 。因此 , 作者认为 , Witt ke 模型的基本方 程组的解是不确定的 。即使忽略上述原因有 解 ,也不能直接解出各节点的水头值 ,不利于在 岩体工程稳定性分析中的实际应用 。 如式 ( 5) ,将裂隙段的张开度 bj ( j = 1 , 2 , …, m ) 作为连通渗流裂隙网络图中裂隙段的 权 , 以 m 阶的对角线矩阵 A 给出渗流网络的几 何参量矩阵 , 裂隙岩体渗流网络的几何参量矩 阵为 :
- 1 , 节点 v i 为裂隙段 ej 的终点
j
= 0 , i = 1 , 2 , …, n
( 6)
112 岩体裂隙网络的回路矩阵
研究岩体裂隙网络中的回路 , 用回路矩阵 C ( G) = [ Cij ] n ×m 表示 。 裂隙网络中的每个回 路一一对应于 C ( G) 的行矢量 。行矢量的每 个元素确定如下 : 1 , 第 j 条裂隙段包含在第 i 个回路中 Cij = 0 , 否则
1;
( 2 ) Cf 与 M 是正交的 ,即 M ・C f = 0 或 Cf ・M
T T
和 v i 的通路 。 若每对节点间都存在一通路 , 则 G 就是连通裂隙网络 ; 当两节点间不存在通路 时 , G 为非连通裂隙网络 , 它又可划分出数个 连通子裂隙网络 。 ( 4) Γ = v 0 e1 v 1 e2 v 2 …ei v i 中 , 边 ( 裂隙段) 的条数 i 称为Γ 的长度 。 当 v 0 = v i 时 , 此通路 称为回路 。 ( 5) 所有裂隙段连通而不含回路的无向图 称为树 。 设 G =〈 V , E〉 是无向连通的裂隙网 络图 , T 是 G 的生成子图 , 并且 T 是树 , 则称 T 是 G 的生成树 。 G 不在 T 中的边称为 T 的弦 , T 的所有弦的集合的导出子图称为 T 的余树 。 ( 6) 设 T 是 n 阶连通图 G =〈 V , E〉 的一 棵生 成 树 , G 有 m 条 裂 隙 段 。 设 裂 隙 段 e1 , e2 …, e m - n +1 为 T 的弦 , 设 C r 是 T 加弦 e r 产生 的裂隙网络 G 的回路 , r = 1 , 2 , …, m - n + 1 。 称 C r 为对应于弦 e r 的基本回路 , 每一基本回路 均对应于一个多边形的岩块 。 下面用图的关联矩阵 、 回路矩阵 、 邻接矩阵 [3 ,4 ] 来表示岩体裂隙网络 的连通性质 。 111 有向裂隙网络的关联矩阵 对于 n 个节点 , m 条裂隙段的有向裂隙网 络 G ,定义关联矩阵为 : ( 3) M = [ M ij ] n ×m 其中 :
按 Witt ke 模型和文献 [ 6 ] 所依据的原理 , 考虑有降水入渗 Pj 和节点源汇量 Q i 的作用 , 裂隙岩体渗流网络节点流量守恒方程为 :
q ∑
n′
i
j
-
P ∑
n′
i
j
+ Q i = 0 , i = 1 , 2 , …, n ( 11 )
Witt ke 模型基本方程组共有 ( n + r + t )
(3) 裂隙岩体中岩块的渗透性一般很微
1 裂隙网络的矩阵表示
将岩体裂隙网络视为离散数学图论中的一 个图 G ( 图 1) 。 〈 V , E〉 ,即 图 G 是一个二元组 ( 2) G =〈 V , E〉 式中 G — — —岩体裂隙网络 ; V — — —裂隙端点及交叉点的集合 , 亦称图 G 的顶点集 , 这里称为节点 ; E— — —裂隙交叉点之间及交叉点与端点之 间的裂隙段 , 亦称图 G 的边集 。
t ke 模型的方程个数实质上是不确定的 。而且 , Witt ke 模型的方程形式不统一 , 各方程组相互
j
= 0 , c = 1 , 2 , …, r
( 12 )
( 12) 写成矩阵形式 ,则有 将方程 ( 11) 、 M ・q - M d ・P + Q = 0
( 13 ) ( 14 )
ΔH = 0 Cf ・
http://www.cnki.net
如定义 ( 5) ,裂隙岩体单一裂隙渗流服从立方定 律 ,则裂隙岩体渗流网络 G 的导水系数矩阵 为: ( 10) 其中 K = [ k ij ] m ×m
0 , ( v i , v j) ∈ E
k j , ( v i , v j ) ∈ E , 且为充填裂隙
γb2j , ( v i , v j ) ∈ E , 裂隙无充填 的 12μ 式中 k j 为充填裂隙的渗透系数 。 断层破碎带可 视为张开度很大的充填裂隙 。
摘 要 给出了裂隙岩体渗流的几个基本定义 。将岩体裂隙网络视为一个图 ,利用离散数学 图论中图的矩阵表示法和单一裂隙渗流的立方定律 ,建立了裂隙岩体裂隙网络渗流模型 ,并 将该模型用于实际边坡工程岩体裂隙渗流分析 。 关键词 裂隙岩体 裂隙网络 图论 图的矩阵 渗流模型
岩体不同于完整岩石和土体 , 它不是由细 小颗粒或散粒体组成的多孔介质 , 而是由随机 分布的裂隙和被裂隙切割的岩块组成的不连续 介质 。裂隙岩体渗流不同于多孔介质渗流 。有 关裂隙岩体渗流的几个基本定义如下 : ( 1) 在岩体中随机分布的裂隙切割关系构 成岩体中的裂隙网络 , 其中具有连通关系和水 流流动的部分称为渗流网络 。 (2) 岩体中的裂隙构成裂隙网络 , 在连通 的裂隙网络中流动的地下水流称为裂隙岩体渗 流。
b1 A = [ a ij ] m × m = 的回
得到的矩阵 。 由裂隙岩体渗流网络关联矩阵 M 与基本 回路矩阵 Cf 的正交关系 ,可将方程 ( 14) 写成节 点转换方程 : Δ H = M T ・H
( 15 )
式中 H 为节点水头 Hi ( i = 1 , 2 , …, n ) 列向量 。 由单一裂隙渗流的立方定律 , 方程 ( 13) 中 的裂隙单元流量列向量 q 可表示为 : ΔH ( 16 ) q = A ・K ・ ( 15 ) 、 ( 16 ) 代换 , 最后得到裂 由方程 ( 13 ) 、 隙岩体裂隙网络渗流方程 :
弱 ,裂隙才是岩体中的渗流通道 ,裂隙岩体渗流 仅是一种网络流 。 ( 4) 裂隙岩体渗流是在岩体裂隙中非均匀 的面状流动 ,其对岩体所产生的渗流力是面力 , 而不是体积力 。 ( 5) 裂隙岩体的裂隙网络中的单一裂隙渗 流服从立方定律 [ 1 ,2 ] ,即 γb3 9 H ( 1) Q =・ 12μ 9l 式中 γ — — —水的质量密度 ; μ— — —粘滞系数 ; b— — —裂隙张开度 ; 9H 为水头梯度) ; 9l Q— — —裂隙单宽流量 。
式中取流出节点的流量为正 。 裂隙岩体渗流网络的基本回路方程为 : ΔH ∑
m′
c
个方程 , 联立求解 ( n + r + t ) 个方程 , 似乎可解 得 I j , 进而求得 qj 。 但实质上 ,回路压力守恒方 程中的回路不是基本回路 , 而回路个数是不确 定的 ; 条形基元水压差方程中的条形基元的划 分和其中所包含的裂隙段条数也不确定 。Wit2
0 , 裂隙段 85 ( v i , v j ) |
P1
E
以 m 阶对角线矩阵
0
P2
0 0
… …
0 0
温
P ( G) =
0
… 0
… 0
… … 0 …
…
Pm
( 5)
给出裂隙网络 G 的裂隙段 ( 边) 之权 。 限于篇幅 , 这里不讨论裂隙网络图 G 〈 V , E〉 的边的权值张开度 、 粗糙度和裂隙段长度的确 定方法 。
v i 是 ei 的端点 , i = 1 , 2 , …, n , 则称 Γ为顶点 v o
根据离散数学原理 , C ( G) 具有如下性 质:
( 1 ) C ( G) 中的基本回路所对应的行向量
是线性无关的 , 构成裂隙网络 G 的基本回路矩 阵 Cf , C ( G) 的秩等于 Cf 的秩 ,ν c = m - n +
矿 冶 工 程
MINING AND METALL URGICAL ENGINEERING
Vol. 17 № 2 J une 1997
裂隙岩体裂隙网络渗流模型研究
贺少辉 廖国华 ①
( 北方交通大学土木工程学院 ,北京 ,100044) ① ( 北京科技大学资源工程学院 ,北京 ,100083)
1 , 节点 v i 为裂隙段 ej 的始点
m ij =
= 0
( 4)
113 裂隙网络的邻接矩阵
将单一裂隙的张开度 、 粗糙度 、 裂隙段长度 称为裂隙网络图 G 〈 V , E〉 边之权 。 赋权裂隙网 络的邻接矩阵 S = [ S ij ] n ×n 中的元素为 :
S ij = Pij , 裂隙段 ( v i , v j ) ∈ E 带权 Pij
H— — —水头 (
收稿日期 1996 205 216 第 1 作者 男 博士
图1 裂隙渗流网络及相应的图 G 〈 V , E〉
裂隙网络 G 有以下基本特征 [ 3 ,4 ] : ( 1) 每一有向裂隙段及其两端点构成裂隙 网络的基本单元 。 ( 2) 若节点 v i 为裂隙段 ej 的端点 , 称 ej 衔 接于节点 v i ; 与节点 v i 相衔接的裂隙段条数称 为节点 v i 的度数 ; 若裂隙段的两端点均为一
第2期
贺少辉等 : 裂隙岩体裂隙网络渗流模型研究
13
Ij — — —裂隙单元水力梯度 ;
Δ HΓ — — —条形基元上 、 下游边界水压差 ; n′ — —节点 i 处相交的裂隙段条数 ( 即节点 i — 度数) ; m′ — —形成回路的裂隙段条数 ( 即回路维 c — 数) ;
Sp — — —条形基元中裂隙段条数 。
2 裂隙岩体裂隙网络渗流模型的
建立
Witt ke [ 5 ] 提出了比较复杂的反映裂隙岩体 裂隙渗流情况的离散模型 , 认为裂隙岩体的渗 透空间由组成裂隙网络的裂隙个体组成 。Wit2
t ke 线素模型的基本方程组为 : ( 1) 节点流量守恒方程
q ∑
n′
i
0 , 节点 v i 与裂隙段 ej 不关联
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12
Baidu Nhomakorabea
矿 冶 工 程
第 17 卷
度 , 则为孤立裂隙 。 ( 3) 给定图 G =〈 V , E〉 。 设 G 中顶点 ( 节 点) 和 边 ( 裂 隙 段 ) 的 交 替 序 列 为 Γ = v 0 e1 v 1 e2 v 2 …ei v i , 若 Γ 满足如下条件 : v i - 1 和
L ・H = Q 0
T
0
b2
0 0
… …
0 0
0
… 0
… … 0 0
… … … bm
( 9)
( 17 )
其中 , L = M ・A ・K ・M , 为 n ×n 阶裂隙渗 流网络总体传导矩阵 ; Q 0 = M d ・P - Q , 为等 效节点流量列向量 。 当部分边界节点上的水头已知时 ( 即为第 一类边界) ,将这些节点所在的方程从岩体裂隙 网络渗流方程 ( 17 ) 中分离出来 , 裂隙岩体裂隙 网络渗流模型则变为 : ( 18 ) [L ]・ [ H] = [ Q ] 式中 [ H ] 为只包含内部节点和第二类边界节 点 ( 已知流量边界节点) 的水头项 。 将连通的裂隙网络中各裂隙段的长度 l j ( j = 1 , 2 , …, m ) 作为岩体裂隙渗流网络的权 , 如
( 2) 回路压力守恒方程
lI ∑
m′
c
j j
= 0 , c = 1 , 2 , …, r
( 7)
( 3) 条形基元水压差
∑l I
S
p
j j
= Δ HΓ , p = 1 , 2 , …, t
( 8) 0
式中 qj — — —裂隙单元的流量 ;
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ΔH、 Δ Hj 、 式中 q 、 P、 Q 分别为 qj 、 Pj 、 Q i 所构 成的列向量 ,Δ Hj 为裂隙段两端点的水头差 ,
M d 为将关联矩阵 M 中的元素 - 1 代之以 1 所
关联 。因此 , 作者认为 , Witt ke 模型的基本方 程组的解是不确定的 。即使忽略上述原因有 解 ,也不能直接解出各节点的水头值 ,不利于在 岩体工程稳定性分析中的实际应用 。 如式 ( 5) ,将裂隙段的张开度 bj ( j = 1 , 2 , …, m ) 作为连通渗流裂隙网络图中裂隙段的 权 , 以 m 阶的对角线矩阵 A 给出渗流网络的几 何参量矩阵 , 裂隙岩体渗流网络的几何参量矩 阵为 :
- 1 , 节点 v i 为裂隙段 ej 的终点
j
= 0 , i = 1 , 2 , …, n
( 6)
112 岩体裂隙网络的回路矩阵
研究岩体裂隙网络中的回路 , 用回路矩阵 C ( G) = [ Cij ] n ×m 表示 。 裂隙网络中的每个回 路一一对应于 C ( G) 的行矢量 。行矢量的每 个元素确定如下 : 1 , 第 j 条裂隙段包含在第 i 个回路中 Cij = 0 , 否则
1;
( 2 ) Cf 与 M 是正交的 ,即 M ・C f = 0 或 Cf ・M
T T
和 v i 的通路 。 若每对节点间都存在一通路 , 则 G 就是连通裂隙网络 ; 当两节点间不存在通路 时 , G 为非连通裂隙网络 , 它又可划分出数个 连通子裂隙网络 。 ( 4) Γ = v 0 e1 v 1 e2 v 2 …ei v i 中 , 边 ( 裂隙段) 的条数 i 称为Γ 的长度 。 当 v 0 = v i 时 , 此通路 称为回路 。 ( 5) 所有裂隙段连通而不含回路的无向图 称为树 。 设 G =〈 V , E〉 是无向连通的裂隙网 络图 , T 是 G 的生成子图 , 并且 T 是树 , 则称 T 是 G 的生成树 。 G 不在 T 中的边称为 T 的弦 , T 的所有弦的集合的导出子图称为 T 的余树 。 ( 6) 设 T 是 n 阶连通图 G =〈 V , E〉 的一 棵生 成 树 , G 有 m 条 裂 隙 段 。 设 裂 隙 段 e1 , e2 …, e m - n +1 为 T 的弦 , 设 C r 是 T 加弦 e r 产生 的裂隙网络 G 的回路 , r = 1 , 2 , …, m - n + 1 。 称 C r 为对应于弦 e r 的基本回路 , 每一基本回路 均对应于一个多边形的岩块 。 下面用图的关联矩阵 、 回路矩阵 、 邻接矩阵 [3 ,4 ] 来表示岩体裂隙网络 的连通性质 。 111 有向裂隙网络的关联矩阵 对于 n 个节点 , m 条裂隙段的有向裂隙网 络 G ,定义关联矩阵为 : ( 3) M = [ M ij ] n ×m 其中 :
按 Witt ke 模型和文献 [ 6 ] 所依据的原理 , 考虑有降水入渗 Pj 和节点源汇量 Q i 的作用 , 裂隙岩体渗流网络节点流量守恒方程为 :
q ∑
n′
i
j
-
P ∑
n′
i
j
+ Q i = 0 , i = 1 , 2 , …, n ( 11 )
Witt ke 模型基本方程组共有 ( n + r + t )
(3) 裂隙岩体中岩块的渗透性一般很微
1 裂隙网络的矩阵表示
将岩体裂隙网络视为离散数学图论中的一 个图 G ( 图 1) 。 〈 V , E〉 ,即 图 G 是一个二元组 ( 2) G =〈 V , E〉 式中 G — — —岩体裂隙网络 ; V — — —裂隙端点及交叉点的集合 , 亦称图 G 的顶点集 , 这里称为节点 ; E— — —裂隙交叉点之间及交叉点与端点之 间的裂隙段 , 亦称图 G 的边集 。
t ke 模型的方程个数实质上是不确定的 。而且 , Witt ke 模型的方程形式不统一 , 各方程组相互
j
= 0 , c = 1 , 2 , …, r
( 12 )
( 12) 写成矩阵形式 ,则有 将方程 ( 11) 、 M ・q - M d ・P + Q = 0
( 13 ) ( 14 )
ΔH = 0 Cf ・
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如定义 ( 5) ,裂隙岩体单一裂隙渗流服从立方定 律 ,则裂隙岩体渗流网络 G 的导水系数矩阵 为: ( 10) 其中 K = [ k ij ] m ×m
0 , ( v i , v j) ∈ E
k j , ( v i , v j ) ∈ E , 且为充填裂隙
γb2j , ( v i , v j ) ∈ E , 裂隙无充填 的 12μ 式中 k j 为充填裂隙的渗透系数 。 断层破碎带可 视为张开度很大的充填裂隙 。
摘 要 给出了裂隙岩体渗流的几个基本定义 。将岩体裂隙网络视为一个图 ,利用离散数学 图论中图的矩阵表示法和单一裂隙渗流的立方定律 ,建立了裂隙岩体裂隙网络渗流模型 ,并 将该模型用于实际边坡工程岩体裂隙渗流分析 。 关键词 裂隙岩体 裂隙网络 图论 图的矩阵 渗流模型
岩体不同于完整岩石和土体 , 它不是由细 小颗粒或散粒体组成的多孔介质 , 而是由随机 分布的裂隙和被裂隙切割的岩块组成的不连续 介质 。裂隙岩体渗流不同于多孔介质渗流 。有 关裂隙岩体渗流的几个基本定义如下 : ( 1) 在岩体中随机分布的裂隙切割关系构 成岩体中的裂隙网络 , 其中具有连通关系和水 流流动的部分称为渗流网络 。 (2) 岩体中的裂隙构成裂隙网络 , 在连通 的裂隙网络中流动的地下水流称为裂隙岩体渗 流。
b1 A = [ a ij ] m × m = 的回
得到的矩阵 。 由裂隙岩体渗流网络关联矩阵 M 与基本 回路矩阵 Cf 的正交关系 ,可将方程 ( 14) 写成节 点转换方程 : Δ H = M T ・H
( 15 )
式中 H 为节点水头 Hi ( i = 1 , 2 , …, n ) 列向量 。 由单一裂隙渗流的立方定律 , 方程 ( 13) 中 的裂隙单元流量列向量 q 可表示为 : ΔH ( 16 ) q = A ・K ・ ( 15 ) 、 ( 16 ) 代换 , 最后得到裂 由方程 ( 13 ) 、 隙岩体裂隙网络渗流方程 :
弱 ,裂隙才是岩体中的渗流通道 ,裂隙岩体渗流 仅是一种网络流 。 ( 4) 裂隙岩体渗流是在岩体裂隙中非均匀 的面状流动 ,其对岩体所产生的渗流力是面力 , 而不是体积力 。 ( 5) 裂隙岩体的裂隙网络中的单一裂隙渗 流服从立方定律 [ 1 ,2 ] ,即 γb3 9 H ( 1) Q =・ 12μ 9l 式中 γ — — —水的质量密度 ; μ— — —粘滞系数 ; b— — —裂隙张开度 ; 9H 为水头梯度) ; 9l Q— — —裂隙单宽流量 。
式中取流出节点的流量为正 。 裂隙岩体渗流网络的基本回路方程为 : ΔH ∑
m′
c
个方程 , 联立求解 ( n + r + t ) 个方程 , 似乎可解 得 I j , 进而求得 qj 。 但实质上 ,回路压力守恒方 程中的回路不是基本回路 , 而回路个数是不确 定的 ; 条形基元水压差方程中的条形基元的划 分和其中所包含的裂隙段条数也不确定 。Wit2
0 , 裂隙段 85 ( v i , v j ) |
P1
E
以 m 阶对角线矩阵
0
P2
0 0
… …
0 0
温
P ( G) =
0
… 0
… 0
… … 0 …
…
Pm
( 5)
给出裂隙网络 G 的裂隙段 ( 边) 之权 。 限于篇幅 , 这里不讨论裂隙网络图 G 〈 V , E〉 的边的权值张开度 、 粗糙度和裂隙段长度的确 定方法 。
v i 是 ei 的端点 , i = 1 , 2 , …, n , 则称 Γ为顶点 v o
根据离散数学原理 , C ( G) 具有如下性 质:
( 1 ) C ( G) 中的基本回路所对应的行向量
是线性无关的 , 构成裂隙网络 G 的基本回路矩 阵 Cf , C ( G) 的秩等于 Cf 的秩 ,ν c = m - n +