平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量

积中,首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定

义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示

的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.

前面我们学习了平面向量的数量积以及平面向量的坐标表示•那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、

夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示

和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示

是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础

上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基

二、教学目标

1知识与技能:

掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法:

通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观:

能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示.

教学难点:向量数量积的坐标表示的应用四、教学设想

（一）导入新课

思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解

决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们

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学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示，对平面向量的数 量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题

两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来 么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如 何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数 对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通

过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示

，在此基础上

引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示 (二) 推进新课、新知探究、提出问题

① 平面向量的数量积能否用坐标表示

② 已知两个非零向量 a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标 表示a b 呢？

③ 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件?

④ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公 式？ 活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究 .前 面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来 表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性 运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具 备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的

思路2•在平面直角坐标系中 ，平面向量可以用有序实数对来表示

，那

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运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数

量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师

给予必要的提示和补充•推导过程如下:

a=x i i +y i j,b=x2 i +y2j,

••• a b=(x i i +y i j) (x2 i +y2j)

=X i X2 i 2+X i y2 i j・+X2y i i j+y i yf.

又Ti i =1,j j-=1, i j=j i =0,

a b=X i X2+y i y2.

教师给出结论性的总结，由此可归纳如下:

1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即a=(X i,y i),b=(X2,y2),

贝y a b=X i X2+y i y2.

2°向量模的坐标表示

若a=(X,y),则| a| 2=X2+y2,或| a|= J x2 y2

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为

（x i,y i）、（X2,y2）,那么

I 2 2

a=(X2-x i,y2-y i),| a|= U(X2 x」皿 y i)-

3°两向量垂直的坐标表示

设a=(X i,y i),b=(X2,y2),则

a 丄

b X i X2+y i y2=0.

4 °两向量夹角的坐标表示

设a 、b 都是非零向量，a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),是a 与b 的夹角， 根据向量数量积的定义及坐标表示，可得

cos 0=a ?b --------------------------- L

|a||b| J x ； y ； ? J X i

讨论结果:略.

(三) 应用示例 例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)试判断△ABC 的形状,并给出证明.

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形 的形状问题•判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看 边长是否相等，角是否为直角.可先作出草图，进行直观判定，再去 证明•在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相 等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向

量模相等或者由两边所在向量的数量积为零 ，则此三角形为等腰 三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面 图形形状的方法.

解:在平面直角坐标系中标出

A(1,2),B(2,3),C(-2,5三点，我

们

发现AABC 是直角三角形.下面给出证明.

V AB =(2-1,3-2)=(1,1),

AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), 二 AB -A C =1 X (-3)+1 X 3=0.

x i X 2 y y 2

y 2