一阶电路分析经典篇

pt
ke

t RC t RC
代入初始条件得：k U o
uc ( t ) U o e

说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确 定解答的必需条件。
(2) 电容的初始条件
i
uC ( t )
C
1
1
t

i ( )d
t 0

+ uc -

C
1
0


i ( )d

C
由换路定律:

-


电感用电 流源替代
iL(0+)= iL(0－) =2A
uL ( 0 ) 2 4 8V

求初始值的步骤:
1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
电容用电 压源替代
iC(0－-)=0
iC(0+)
例2
1 K
t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+) 4 1
解 先求
4
i L (0 )

L
iL
+
uL
10V
0+电路
-
10V
10 1 4
电 感 短 路
2A
1
4
i L (0 )

+
10V 2A
uL
uL ( 0 ) 0 uL ( 0 ) 0
例
+
电阻电路Hale Waihona Puke Baidu
i （t=0）
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
i
R1 R2 0
us
-
t
过渡期为零
电容电路
(t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R
+
i = 0 , uC = 0
C K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
uC
–
(t →) R + Us
ik
200V
iC (0 ) uC (0 ) / 100 1 A


-
10.2
零输入响应
一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。 已知 uC (0－)=U0
1. RC电路的零输入响应
K(t=0)
i
+ R
uR uC 0
i C duC dt
i
i = 0 , uC= Us
C
US R
uC
–
uc
US
?
0
过渡状态
i
t1新的稳定状态 t
有一过渡期
前一个稳定状态
(t = 0) Us
K
i
K未动作前，电路处于稳定状态 R +
uC
–
C
i = 0 , uC= Us
K动作后很长时间，电容放电完毕， 电路达到新的稳定状态
(t = t2)
K
i
R
+
uC
–
i = 0 , uC = 0
uL L
di dt
uC
C
uL
L
＋ –
RC
duc dt
uc uS ( t )
二阶电路
若以电流为变量： Ri L
di dt

idt u C
duS ( t ) dt
1
S
(t )
R
di dt
L
d i dt
2
2

1 C
i
结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程； （2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
dt
t RC
t0
t0
) U0 R
t RC
i
或
uC R
e
I 0e
t RC

t RC
i C
duC
CU 0 e
(
1 RC
e
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
U0 uC
连续 函数
I0 0
i
跃变
0
t
t
（2）响应与初始状态成指数关系，其衰减快慢与RC有关； 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
电压初值一定：
0
小
t
W=Cu2/2
i=u/R
储能大
放电时间长
放电电流小
t
uc U 0 e
t
0


2 U0 e -2
3 U0 e -3
5 U0 e -5 0.007 U0
i L (0 ) i L (0 )

200 200
1A
100 K
100
200V
uC (0 ) uC (0 ) 100V
－
（2）给出0＋等效电路
－
+
1A
uL
+
100V
ik (0 )


200 100


100 100
1 2A
iC 100
100
+
100
uL (0 ) i L (0 ) 100 100V
C
RC
若以电流为变量：
duc dt
uc uS (t )
Ri
di dt
idt u C
i duS ( t ) dt
1
S
(t )
R

C
应用KVL和电感的VCR得：
Ri uL uS (t )
Ri L di dt
uL L
di dt
(t >0) R + us（t）
i
uS (t )
一阶电路
一阶电路中只有一个动态元件,描述 电路的方程是一阶线性微分方程。
a1
二阶电路
dx dt
a0 x e( t )
t0
二阶电路中有二个动态元件,描述电 路的方程是二阶线性微分方程。
a2
d x dt
2
2
a1
dx dt
a0 x e( t )
t0
高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
uL
–
L
若以电感电压为变量：
R L duL dt
R
u L

L
dt uL uS (t )
uL
duS ( t ) dt
一阶 电路
有源 电阻 电路
一个 动态 元件
Ri uL uc uS (t )
iC duc dt
LC d uc dt
2 2
(t >0)
i
R +
＋
uS（t） － －
L
US
uL
–
i
US/R
?
0
过渡状态
UL
t1 新的稳定状态 t
有一过渡期 前一个稳定状态
(t →) R + Us
i
K未动作前，电路处于稳定状态 L
uL
–
uL= 0, i=Us /R
K断开瞬间
i
Us
K
i = 0 , uL =
L 注意工程实际中的 过电压现象
R
+
uL
–
换路
电路结构、状态发生变化
支路接入或断开
L (0+)= L (0 ) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
－
iL(0+)= iL(0－)
注意:
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定 例1
求 iC (0+) iC
(1) 由0－电路求 uC(0－)
库 安秒 RC 欧法 欧 欧 秒 伏 伏
=RC
p
1 RC

1

时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长
uc U0
小 → 过渡过程时间短
大
物理含义
C 大（R一定） R 大（ C一定）

i +
+ uL
iC
2
3
-
48V 12A
+
24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8 A

i (0 ) 12 8 20 A

-
uL (0 ) 48 2 12 24V

例5
求K闭合瞬间流过C的电流值。 C L 解
iL
（1）确定0－值

+ +
uC － 100
第十章
重点
一阶电路
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；
3. 稳态分量、暂态分量求解；
4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
10.1
动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
稳态分析和动态分析的区别
稳态 恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解
a1 dx dt a0 x U S
动态 任意激励
换路发生后的整个过程
微分方程的一般解
t
dx dt
0
a0 x U S
3. 电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
C
US R
uc
US
i
过渡状态
第三个稳定状态
前一个稳定状态
0 有一过渡期
t1第二个稳定状态 t
电感电路 (t = 0) Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
R +
i = 0 , uL = 0
L K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
uL
–
(t →)
R + Us
i
uL= 0, i=Us /R

u( )d
磁链 守恒
iL(0＋)= iL(0－)
LiL
结 论
L (0＋)= L (0－)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
（4）换路定律
qc (0+) = qc (0－)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
f (0 ) f (0 )


f(t)
f (0 ) f (0 )

认为换路在 t=0时刻进行 0－ 0＋ 换路前一瞬间 换路后一瞬间

t 0－0 0＋
f ( 0 ) lim f ( t )
t 0 t 0
f ( 0 ) lim f ( t )
t 0 t 0

初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值

R
RI S R
0
uL(0+)= - RIS
例4
求K闭合瞬间各支路电流和电感电压 由0－电路得： 2 解
+
48V
+
K
L
iL
uL 2
3 C
+
2 iL
3
-
-
48V

2 + uC －
由0+电路得：
i L (0 ) i L (0 ) 48 / 4 12 A
uC (0 ) uC (0 ) 2 12 24V
+ +
uC
10k 10V
+
40k
uC
+
+ -
i 10k 40k 10V k
-
-
电 容 开 路
+
8V iC
-
uC(0－)=8V
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
iC ( 0 )

i 10k 10V
10 8 10
0.2mA
0+等效电路
电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发 生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p w t
t 0
p
2. 动态电路的方程
应用KVL和电容的VAR得： us（t）
(t >0) R +
i
uC
–
Ri uc uS (t )
iC
duc dt
RC duC dt

C
uC
–
+
uC 0
uR
–
uR= Ri
uC ( 0 ) U 0
特征方程
则
RCp+1=0
pt
特征根
1 RC t
p
1 RC
uC Ae
Ae
uc Ae

1 RC
t
代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0
t RC
A=U0
uc U 0 e
U0 R
图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo, 求开关闭合后电容电压随时间的变化。 (t=0) + 解 Ri uc 0 ( t 0) uC R C duc i － RC uc 0 dt 特征根方程： RCp 1 0 p 1 RC 例 得通解：
uc ( t ) ke
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
+u – IS
L
R
K(t=0)
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
iC ( 0 ) I s
t

1
i ( )d
C

uC (0 )

C
1
i ( )d
0

0
0
i ( )d
电荷 守恒
t = 0+时刻
uC (0 ) uC (0 )
C
0

当i()为有限值时
uC (0+) = uC (0－) q (0+) = q (0－)
q =C uC
结 论
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
an
d x dt
n
n
a n 1
d
n 1
x
dt
n 1
a1
dx dt
a0 x e( t )
t0
动态电路的分析方法
（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程
（2）求解微分方程 时域分析法 本章 采用 经典法 复频域分析法 拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
状态变量法
卷积积分 数值法
(3) 电感的初始条件
iL
i L (t )
+
u

L
L
1
0

L L
1
1
1
t

u( )d
t


u( )d
t

L
0

1
u( ))d
0
t = 0+时刻 当u为有限值时

i L (0 )

u( )d
0
0
i L (0 ) i L (0 )
L
0