数学建模期末考试2018A试的题目与答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模

考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u

1, u 2, u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i

= 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）

(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）

(3) 写出该问题的状态转移率。（3分）

(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）

解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}

及他们的5个反状（3分）

(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）

(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）

(4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）

1、 二、(满分12分) 在举重比赛中.运动员在高度和体重方面差别很大.请就下面

两种假设.建立一个举重能力和体重之间关系的模型：

（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分

（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关.请给出一个改进模型。6

分

解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克）

（1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例.所以 y I S

设h 为个人身高.又横截面积正比于身高的平方.则S h

2 再体重正比于身高的三次方.则w h

3

故举重能力和体重之间关系的模型为： （6分）

（2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为

( 12分)

三、(满分14分) 某学校规定.运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两

门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么.毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程

课程编号 课程名称 学分 所属类别 先修课要求

1 微积分 5 数学

2 线性代数 4 数学

3 最优化方法

4 数学；运筹学 微积分；线性代

数

4 数据结构 3 数学；计算机 计算机编程

5 应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代

数

6 计算机模拟 3 计算机；运筹学 计算机编程

7 计算机编程 2 计算机

8 预测理论 2 运筹学 应用统计

9 数学实验 3 运筹学；计算机 微积分；线性代

数

记i=.….9表示9门课程的编号。设i 表示第i 门课程选修.i 表示第

i 门课程不选, 建立数学规划模型

(1) 写出问题的目标函数(4分)

(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此

约束条件 (5分)

(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件 (5分)

解

(1) 9

1min i i Z x ==∑ (4分)

(2) 123452x x x x x ++++≥

得分 23y kw =23

()y k w a =-

356893x x x x x ++++≥ (9分)

46792x x x x +++≥

(3) 2313,x x x x ≤≤

47x x ≤

5152,x x x x ≤≤

67x x ≤

9192,x x x x ≤≤

85x x ≤ (14分)

四、(满分10分) 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关.

其中粘滞系数的量纲[μ]=11L MT -- 1.用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为

[v ]=LM 0T -1.

[ρ]=L -3MT 0.

[μ]=11

L MT --

[g ]=LM 0T -2,其中是基本量纲. (3分)

量纲矩阵为 A=)

()()()()

()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 .即

⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分) 由量纲PI 定理 得 g v μρπ13--=. 3

ρ

μλg v =∴.其中λ是无量纲常数. (10分)

五、(满分12分)设某种群t 时刻的数量为()x t ,初始数量为0x ,

(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;