七年级下压轴题专题训练

七年级下压轴题专题训练1

1．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=BE．

（1）求证：∠AED=90°；

（2）若EN平分∠AED交AD于N，试判断△BCN的形状并证明；

（3）在（2）问的条件下，猜想：△MBC与四边形ABCD的面积有何数量关系？并说明理由．

（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴∠ABE=∠ECD=90°，

∵在△ABE和△ECD中，

AB=CE ∠ABE=∠ECD CD=BE ，

∴△ABE≌△ECD（SAS），

∴∠AEB=∠EDC，

∵∠EDC+∠DEC=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠AED=90°；

（2）解：△BCN为等腰直角三角形，

证明：∵△ABE≌△ECD，

∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，

∵∠AED=90°，

∴△AED为等腰直角三角形，

∵EN平分∠AED，

∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD，

∴∠BAN=∠CEN，AN=EN，

∵在△BAN和△CEN中，

AB=EC ∠BAN=∠CEN AN=EN ，

∴△BAN≌△CEN（SAS），

∴NB=NC，∠ANB=∠ENC，

∵∠ANB+∠BNE=90°，

∴∠ENC+∠BME=90°，

∴△BNC为等腰直角三角形；

（3）解：2S△BNC=S梯形ABCD．理由如下：

作NM⊥BC，

∵△AED为等腰直角三角形，EN平分∠AED，

∴N点为AD的中点，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，

∴AB∥CD∥MN，

∴M点为BC的中点，

∴MN为梯形ABCD的中位线，NE⊥BC，

∴S△BNC=BC?NE?1/ 2 ，

S梯形ABCD=BC?NE，

∴2S△BNC=S梯形ABCD．

2．已知x ，y 满足（x+2y ）（x-2y ）=-5(y 2-56)，2x(y-1)+4(2

1 x-1)=0． 求（1）（x-y ）2；（2）x 4+y 4-x 2y 2．

解：∵（x+2y ）（x-2y ）=-5（y2-6 /5 ），

∴x 2-4y 2=-5y 2+6，∴x2+y2=6， ∵2x （y-1）+4（1/ 2 x-1）=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2，

（1）（x-y ）2=x2+y2-2xy=6-4=2；

（2）x4+y4-x2y2=（x2+y2）2-2x2y2-x2y2

=（x2+y2）2-3x2y2=36-3×4=24．

3．如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P 从A 点出发沿AD 边向点D 移动，点Q 自A 点出发沿A →B →C 的路线移动，且PQ ∥DC ，若AP=x ，梯形位于线段PQ 右侧部分的面积为S ．

（1）分别求出点Q 位于AB 、BC 上时，S 与x 之间函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）当线段PQ 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分时，x 的值是多少？

（3）在（2）的条件下，设线段PQ 与梯形ABCD 的中位线EF 交于O 点，那么OE 与OF 的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l 经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）

解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D ，因为PQ ∥DC ，所以QP=AQ ，

当x ≤12时，SAQP=1 2 x ×2 3 x=1 3 x2，

当x ＞12时，S 梯形=SABP+S 平行四边形=48+（x-12）×8，

所以 S △APQ= 1 3 x2(x ≤12) S 梯形=S △APQ+S 平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x ≤20) ；

（2）S 梯形=1 2 （8+20）×8=112，

当线段PQ 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分时，

即48+（x-12）?8=56，

解之得，x=13．

（3）如图所示，

①过点B 作BM ∥PQ ，

由（2）得，PD=7=OE ，在△ABM 中，FN=1 2 AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE ．

研究发现，当直线L 经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积．

4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）．

解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°

所以△ACD是等边三角形

∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°

所以△ECB是等边三角形

∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE

又∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACE=∠BCD

∵AC=DC，CE=BC

∴△ACE≌△DCB

∴∠EAC=∠BDC

∠AFB是△ADF的外角

∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°

如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB

∴△ACE≌△DCB

∴∠AEC=∠DBC，

又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°

∴∠EFD=90°

∴∠AFB=90°

如图3，∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE

∴∠ACE=∠DCB

又∵CA=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB

∴∠EAC=∠BDC

∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-（180-∠ACD）=120°

∴∠FAB+∠FBA=120°

∴∠AFB=60°

故填120°，90°，60°

（2）∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE

∴∠ACE=∠DCB

∴∠CAE=∠CDB

∴∠DFA=∠ACD

∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

6、如图1所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点. 过点E的直线分别交AM、DN于B、C.

（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：

_______________________________.

（2）试证明你的猜想.

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。

图1

图2 6、(1)AD=AB+CD………

(2)证明：在AD上截取AF=AB,连接EF.

∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠FAE在△ABE和△AFE中

AB=AF

∠BAE=∠FAE

AE=AE

∴△ABE≌△AFE…∴∠ABC=∠AFE ∵ AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠AFE+∠DFE=180°

∴∠DFE=∠C ∵DE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE

在△FDE和△CDE中

∠DFE=∠C

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△FDE≌△CDE…∴DF=CD ∴AF+DF=AB+CD 即AD=AB+CD

（3）证明：

第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB.

在CD上截取DF=AD,连接EF.

∵DE平分∠ADC ∴∠ADE=∠CDE

在△ADE和△FDE中

DA=DF

∠ADE=∠CDE

DE=DE

∴△ADE≌△FDE ∴EA=EF ∠DAE=∠DFE ∵AE平分∠DAM

∴∠DAE=∠EAM ∴∠DFE=∠EAM 又∵∠BAE+∠EAM=180°

∠DFE+∠CFE=180°∴∠BAE=∠CFE ∵AM∥DN ∴∠ABC=∠BCD 在△BAE和△CFE中

∠BAE=∠CFE

∠ABC=∠BCD EA=EF

∴△BAE≌△CFE ∴AB=FC ∵DC=DF+FC∴DC=AD+AB

第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD.……………….5分.

在AB上截取AF=AD,连接EF ∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠DAE

在△ADE和△AEF中

AF=AD

∠BAE=∠DAE AE=AE

∴△AEF≌△AED ∴EF=ED ∴∠AFE=∠ADE ∵DE平分∠AND ∴∠ADE=∠EDN ∴∠AFE=∠EDN

又∵∠AFE+∠BFE=180°∠EDN+∠EDC=180°∴∠BFE=∠EDC ∵AM∥DN ∴∠ABC=∠BCD

在△BEF和△CED中

∠BFE=∠EDC

∠ABC=∠BCD DE=EF ∴△BFE≌△CDE ∴CD=BF ∵AB=AF+FB∴AB=AD+C D

7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是斜边中点，将一个等腰直角三角板绕点P旋转，三角板的两条直角边与AC、BC交于点D、E，连结PC．

（1）求证：PC平分∠ACB ；

（2）图中有个等腰直角三角形，分别

是；

（3）求证：PD=PE．

（1）CP平分∠ACB

∵AB=AC ，点P是斜边中点∴CP平分∠ACB(三线合一)

（2）3个分别为：△ABC、△APC、△BCP

8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.

（1）若AC=BC，∠B︰∠C=2︰1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．

（2）若AB BD＝AC，求∠B︰∠C 的比值．

（1）（△ABC证明1分，△ABD和△ADC的证明各3分，本小题共7分）

等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC （只写出没有任何证明，1个给1分）

证明：∵AC=BC∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠BAC

∵∠B︰∠C=2︰1 ∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36°

∵∠BAD=∠DAC=∠BAC=36°∴∠B=∠ADB=72°,∠DAC=∠C=36°∴△ABD和△ADC是等腰三角形

（2）方法1：在AC上截取AE=AB,连接DE

又∠BAD=∠DAE，AD＝AD∴△ABD≌△ADE

∴∠AED=∠B ， BD＝DE∵AB＋BD＝AC∴BD＝EC

∴DE＝EC∴∠EDC=∠C ∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C

即∠B︰∠C=2︰1

方法2：延长AB到E，使AE=AC连接DE

证明△ADE≌△ADC

再类似证明得到∠B=2∠AED=2∠C

利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC－AB或AB＋B D转化成一条线段

9、已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．

（1）求证：；（2）求证：；

（3）与的大小关系如何？试证明你的结论．

（1）证明：，，是等腰直角三角形．．

在和中，

，，且，

．又，，

．．

（2）证明在和中平分，

．又，

．．又由（1），知，．（3）．证明：连结．

是等腰直角三角形，．又是边的中点，垂直平分．

．在中，是斜边，是直角边，．

10、图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30o，∠E= 45o，∠EDF=∠ACB=90 o ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．

（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN．

（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．

∴BC=BD，∠B=60°∴△BCD是等边三角形．又∵CN⊥DB，∴

∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形．∴∠ADG=30°，而∠A=30°．∴GA=GD．∵GM⊥AB∴又∵AD=DB∴AM=DN

（2）∵DF∥AC

∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，∴∠ADG=60°．

∵∠B=60°，AD=DB，∴△ADG≌△DBH∴AG=DH，

又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，∴△AMG≌△DNH．∴AM=DN．