复合函数的偏导数和全微分--非常重要

例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ，v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
链式法则如图示
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 、 类似地再推广，
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 ， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
2x y ∂z x2 + y2 ]e , 二、 = [2 x + y − 2 2 2 ∂x (x + y )y
2
xy
2y x ∂z ( x2 + y2 ) ]e . = [2 y + x − 2 2 ∂y (x + y )
z
( xdy + ydx )
− xy
ye xe dz = z dx + z dy ( e − 2) ( e − 2) ∂z ye − xy ∂z xe − xy , = z . = z ∂x e − 2 ∂y e − 2
− xy
三、小结
1、链式法则（分三种情况） 、 分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况） 特别要注意课中所讲的特殊情况）
当 ∆u → 0 ， ∆v → 0 时， ε 1 → 0 ，ε 2 → 0
∆ z ∂z ∆ u ∂z ∆ v ∆u ∆v = ⋅ + ⋅ + ε1 + ε2 ∆ t ∂u ∆ t ∂v ∆ t ∆t ∆t
当 ∆t → 0时， ∆u → 0 ，∆v → 0
∆u du → , dt ∆t
dv ∆v → , dt ∆t
y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x − y ) 1 ∂z 1 ∂z z 验证: 验证: + = 2. x ∂x y ∂y y 具有二阶导数, 八、设 z = φ [ x + ϕ ( x − y ), y ], 其中 φ , ϕ 具有二阶导数,求 ∂2z ∂2z , 2. 2 ∂ x ∂y
t t
= e t (cos t − sin t ) + cos t .
例3
设 w = f ( x + y + z , xyz ) ， f 具有二阶
∂w ∂ 2 w 连续偏导数， 连续偏导数，求 和 . ∂x ∂x∂z
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
∂f ( u , v ) f1′ = , ∂u ′′ f11 ,
2、全微分形式不变性 、
（理解其实质） 理解其实质）
思考题
设 z = f ( u, v , x ) ，而u = φ ( x ) ，v = ψ ( x ) ，
dz ∂f du ∂f dv ∂f = + + ， 则 dx ∂u dx ∂v dx ∂x dz ∂f 是否相同？为什么？ 试问 与 是否相同？为什么？ dx ∂x
dz 三、设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x
四、设 z = f ( x 2 − y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导
∂z ∂z 数),求 , . ∂ x ∂y ,(其 五、设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 ∂u ∂u ∂u ),求 数),求 , , . ∂x ∂y ∂z x ,(其 有二阶连续偏导数), ),求 六、设 z = f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y ∂2z ∂2z ∂2z , , 2. 2 ∂x ∂x∂y ∂y
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在， 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
∂ z ∂z ∂ u ∂ z ∂v ∂ z ∂ w , = + + ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂x ∂ w ∂ x z ∂z ∂z ∂ u ∂z ∂ v ∂ z ∂ w . = + + ∂y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ y
思考题解答
不相同. 不相同
的函数， 等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数，
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v, x 的 三 元 函 数 ，
写出来为
dz dx
x
∂f = ∂u
du ∂f ( u ,v , x ) ⋅ x + dx ∂v
dv ( u ,v , x ) ⋅ dx
∂z ∂z = du + dv . ∂v ∂u
例 4 已知e
− xy
∂z ∂z − 2 z + e = 0 ，求 和 . ∂x ∂y
z
z
解
Q d (e
− xy
− 2 z + e ) = 0,
− xy
∴ e − xy d ( − xy ) − 2dz + e z dz = 0,
(e − 2)dz = e
、 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 、 的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ dx + ⋅ + ⋅ dy ∂u ∂x ∂v ∂x ∂ u ∂y ∂v ∂y ∂z ∂u ∂u ∂z ∂v ∂v = dx + dy + dx + dy ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y
∂z ∂z 和 . 求 ∂ x ∂y
解
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
= e u sin v ⋅ y + e u cos v ⋅ 1 = e u ( y sin v + cos v ),
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
七、设 z =
练习题答案
cos y(cos x + x sin x ) x cos x ( y sin y + cos y ) 一、1、 ； ,− 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 2、 2、 2 ln( 3 x − 2 y ) + , 2 y (3 x − 2 y ) y 2x2 2x2 ； − 3 ln( 3 x − 2 y ) − 2 y (3 x − 2 y ) y 3(1 − 4t 2 ) . 3、 3、 3 2 1 − ( 3t − 4t )
z
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
u v w
t
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： 而是多元函数的情况： z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )].
如果 u = φ ( x , y ) 及v = ψ ( x , y )都在点( x , y ) 的偏导数， 具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z = f ( u, v ) 在对应 点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数 具有连续偏导数，
u v w

x
y
z = f [φ ( x, y ), v, w],
特殊地 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,
∂v = 1, ∂x
∂w = 0, ∂x
∂v = 0, ∂y
dz ∆z ∂z du ∂z dv = lim = ⋅ + ⋅ . dt ∆t →0 ∆t ∂u dt ∂v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如
dz ∂ z du ∂ z dv ∂ z dw = + + dt ∂ u dt ∂ v dt ∂ w dt
x
∂f + ∂x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: 填空题: x cos y ∂z 1、 ________________； 1、设 z = ,则 = ________________； y cos x ∂x ∂z ________________. = ________________. ∂y x 2 ln( 3 x − 2 y ) ∂z _______________； 2 、设 z = ,则 = _______________； 2 ∂x y ∂z = ________________. ∂y dz sin t − 2 t 3 3、 3、设 z = e ,则 = ________________. dt v ∂z ∂ z 2 2 u 二、设 z = ue ,而 u = x + y , v = xy ，求 , . ∂x ∂y
z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在， 导数存在，且可用下列公式计算
∂z ∂z ∂u ∂ z ∂ v ∂ z ∂z ∂u ∂z ∂ v ， . = + = + ∂y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ x ∂u ∂ x ∂ v ∂ x
∂w = 1. ∂y
区 别 类 似
∂ z ∂f ∂ u ∂ f = ⋅ + , ∂x ∂u ∂ x ∂ x
∂z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂y ∂ u ∂ y ∂y
z = f ( u, x , y )
z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中
中
u x
y
y
x
例 1 设 z = e u sin v ，而u = xy ，v = x + y ，
二、全微分形式不变性
∂z ∂z dz = du + dv ;当u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 当 ∂u ∂v ∂z ∂z 时，有dz = dx + dy . ∂x ∂y
具有连续偏导数， 设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数，则有全微分
全微分形式不变形的实质： 全微分形式不变形的实质：
∂ 2 f ( u, v ) ′′ f12 = , ∂ u∂ v ′′ f 22 .
同理有 f 2′,
∂w ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = f1′ + yzf 2′; ∂x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x
∂ ∂f1′ ∂f 2′ ∂ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = ∂z ∂z ∂x∂z ∂z ∂f1′ ∂f1′ ∂u ∂f1′ ∂v ′′ ′′ ⋅ + ⋅ = f11 + xyf12 ; = ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z
dz ∂z du ∂z dv ． = + dt ∂u dt ∂v dt
证 设 t 获得增量 ∆t，
则 ∆u = φ ( t + ∆t ) − φ ( t ), ∆v = ψ ( t + ∆t ) − ψ ( t );
由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数
∂z ∂z ∆ z = ∆ u + ∆ v + ε 1 ∆ u + ε 2 ∆v , ∂u ∂v