图的着色问题

顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 可着色： 的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G 1,2, 对于 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成 可能有空的）独立集的一个分类( 2,… k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个 正常k顶点着色时，就成G 顶点可着色的。 正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G 的色数X 是指G 可着色的k的最小值， =k，则称G 色的。 是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G） 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X 就转为求满足下列条件的最少子集数k 就转为求满足下列条件的最少子集数k： 两两子集中的顶点不同； （1）两两子集中的顶点不同； 子集中的两两顶点不相邻。 （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： 为平凡图， =1； 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； ii） 为偶图， （ii）若G为偶图，则X（G）=2 iii）对任意图G Δ+1（这里Δ （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值） 数最大值）
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： • 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 • 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
穷举法－Welch Powell着色法
• 给定图 ，用Welch Powell法对图 着 给定图G， 法对图G着 法对图 色
1
A2 3
1
2
A3
A4
A5
A6 3
穷举法－Welch Powell着色法
• 第一步：将图G中的结点按度数的递减顺序排 第一步： 列： A5 , A3 , A7 , A1 , A2 , A4 , A6 , A8 • 第二步：用第一种颜色对A5着第一种颜色， 第二步： 着第一种颜色， 也着第一种颜色。 并对与A5不邻接的结点A1也着第一种颜色。 • 第三步：对结点A3及与A3不邻接的结点A4、 第三步： A8着第二种颜色。 着第二种颜色。 • 第四步：对结点A7及与A7不邻接的结点A2、 第四步： A6着第三种颜色。 着第三种颜色。 可见， 是三色的。 可见，图G是三色的。但图G不可能是二色 相互邻接， 的，因为A1, A2, A3相互邻接，故必须着三 种颜色。 )=3。 种颜色。所以x(G)=3。
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用 种颜色为地图着色， m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域 着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把 相邻两个区域用一条边相连接， 相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区 域图抽象为一个平面图。 域图抽象为一个平面图。 例如， 12所示的区域图可抽象为12 12例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为12-1（b） 所表示的平面图。19世纪50年代，英国学者提出 所表示的平面图。19世纪50年代， 世纪50年代 了任何地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。 了任何地图都可以4中颜色来着色的4色猜想问题。 过了100多年， 100多年 过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机 上予以证明，这就是著名的四色定理。例如， 上予以证明，这就是著名的四色定理。例如，在 12区域用城市名表示，颜色用数字表示， 图12-1中，区域用城市名表示，颜色用数字表示， 则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
顶点着色－ 顶点着色－求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出， 我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时， 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的， 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1 用第2 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕， 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。 所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。 当然，上述颜色数未必就是X ），而且其和能够含所有顶点的极大 当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点的极大 独立集个数未必唯一。 独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独立集的和 含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者， 含所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者，其个数 即为所用的颜色数X 即为所用的颜色数X（G）。 由此可以得算法步骤： 由此可以得算法步骤： Step1： 图的所有极大独立集； Step1：求G图的所有极大独立集； Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集； Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集； Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。
= ab + bcd
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
• 例1：求图12-2G的顶色数 求图12 2G的顶色数 12解： • Step1：求极大独立集 Step1： 先求图G的极小覆盖， 先求图G的极小覆盖，
aceg + bc deg + bdef + bdef + bcdf 故G的极小覆盖为 {a, c, e, g}, {b, c, d , e, g}, {b, d , e, f }, {b, c, d , f } 取其补集，得到G 极大独立集： 取其补集，得到G的所有 极大独立集： {b, d , f }, {a , f }, {a, c, g}, {a , e, g } • Step2：求出一切若干极大独立集和所有顶点的子集 Step2： 显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色， 显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选 种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f} {b,d,f}中 用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f}中 涂颜色1 {a,f}中的 涂颜色2 中的a 的b、d、f涂颜色1，为{a,f}中的a涂颜色2，为{a,c,g} 中 涂颜色3 {a， g}中的 涂颜色4 中的e 的c和g涂颜色3，为{a，e，g}中的e涂颜色4。
穷举法－Welch Powell着色法
• I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列 这种排列可能不是唯一的， (这种排列可能不是唯一的，因为有些结点的度 数相同) 数相同)。 • II．用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺 II．用第一种颜色对第一结点着色， 序对与前面着色结点不邻接的每一结点着上同样 的颜色。 的颜色。 • III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II， III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II II， 用第三种颜色继续这种做法， 用第三种颜色继续这种做法，直到所有的结点全 部着上色为止。 部着上色为止。
回溯法
• 由于用m种颜色为无向图G=(VC=(c1,c2, ,cn)来描述图的一 种可能着色，其中， 种可能着色，其中，ci∈{1, 2, …, m}，(1≤i≤n)表示 , 的颜色。 赋予顶点i的颜色。 例如， 元组(1, 1)表示对具有 表示对具有5 例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无 向图12.3 12.3（ 的一种着色，顶点1着颜色1 顶点2 向图12.3（a）的一种着色，顶点1着颜色1，顶点2着颜色 顶点3着颜色2 如此等等。 2，顶点3着颜色2，如此等等。 • 如果在n元组C中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称 所有相邻顶点都不会着相同颜色， 元组为可行解，否则为无效解。 此n元组为可行解，否则为无效解。 • 回溯法求解图着色问题：首先把所有顶点的颜色初始化为 回溯法求解图着色问题： 然后依次为每个顶点着色。如果其中i个顶点已经着色， 0，然后依次为每个顶点着色。如果其中i个顶点已经着色， 并且相邻两个顶点的颜色都不一样， 并且相邻两个顶点的颜色都不一样，就称当前的着色是有 效的局部着色；否则，就称为无效的着色。 效的局部着色；否则，就称为无效的着色。如果由根节点 到当前节点路径上的着色，对应于一个有效着色， 到当前节点路径上的着色，对应于一个有效着色，并且路 径的长度小于n 那么相应的着色是有效的局部着色。 径的长度小于n，那么相应的着色是有效的局部着色。这 就从当前节点出发，继续探索它的儿子节点， 时，就从当前节点出发，继续探索它的儿子节点，并把
顶点着色－基本概念
• 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 独立集：对图 的一个子集， ， 是 的一个子集 中任意两个顶点在G中均不相邻 则称S为 的一 中均不相邻， 中任意两个顶点在 中均不相邻，则称 为G的一 个独立集。 个独立集。 • 最大独立集：如果 不包含适合 ＞|S|的独立 最大独立集：如果G不包含适合 不包含适合|S'|＞ 的独立 的最大独立集。 集S'，则称 为G的最大独立集。 ，则称S为 的最大独立集 • 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K 极大覆盖： K是G的一个独立集 并且对于V-K 的一个独立集， 的任一顶点v， 都不是G的独立集 的任一顶点 ，K+v都不是 的独立集，则称 是 都不是 的独立集，则称K是 G的一个极大覆盖。 的一个极大覆盖。 的一个极大覆盖 • 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 V的子集 是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶 的子集K是 的极小覆盖当且仅当 的极小覆盖当且仅当： 的子集 或者v属于 的所有邻点属于K（ 点v或者 属于 ，或者 的所有邻点属于 （但两 或者 属于K，或者v的所有邻点属于 者不同时成立） 者不同时成立）。
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
求极小覆盖的方法-布尔代数法： 求极小覆盖的方法 布尔代数法： 布尔代数法 对于每个顶点v，选择v或者选择 或者选择v的所有邻 对于每个顶点 ，选择 或者选择 的所有邻 首先把“选择顶点v”这个指令记为符号 这个指令记为符号v， 点。首先把“选择顶点 这个指令记为符号 ， 然后对给定的指令x和 ，指令“ 或 和 然后对给定的指令 和y，指令“x或y”和“x与y” 与 分别记为x+y（逻辑和）和x.y（逻辑积）。 分别记为 （逻辑和） （逻辑积）。 • 例如 ， 指令 “ 选择 a 与 b， 或者选择 b 与 c”记为 例如， 指令“ 选择a与 b ， 或者选择b与 c” 记为 ab+bc。从形式上看 ， 逻辑和与逻辑积类似与集 。 从形式上看， 合的∪ 合的 ∪ 和 ∩， 而且关于 ∪ 和 ∩成立的代数法则对 ， 而且关于∪ 成立的代数法则对 于这两个运算也成立。 于这两个运算也成立。 • 布尔恒等式 aa=a • a+a=a • (ab + bc)(a + bd) = aba + abbd + a+ab=a bca + bcbd = ab + abd + bcd + bca + bcd • 如：