二维随机变量及边缘分布

YX
1 2
12 0 13 13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
0;
(2)当1 x 2,1 y 2时, 1 (1,1)
F ( x, y) p11 0;
o1
(2,2)
(2,1)
2x
(3)当1 x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p12 1 3;
解
(1) F ( x, y)
y
x
f (x, y)d xd y
y 0
x 2e(2 x y) d x d y,
0
x 0, y 0,
0,
其他.
得 F
(wk.baidu.com
x,
y)
(1
e2 x 0,
)(1
ey
),
x
0, y 其他.
0.
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y X } {(X ,Y )G},
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
f (u,v) d udv ,
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量, 函数 f ( x, y)
称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随
P{Y X } P{(X ,Y )G} y
YX
f ( x, y)d x d y
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
四、两个常用的分布
1.均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
f
(
x,
y)
1 S
机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
2.性质
(1) f ( x, y) 0.
(2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在
G 内的概率为
P{(X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y.
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x ,
推广 n 维随机变量的概念
定义 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},设X1 X1(e), X2 X2(e), , Xn Xn(e), 是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向量 ( X1, X2 , , Xn ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量. 对于任意 n 个实数x1, x2 , , xn , n 元函数 F ( x1, x2 , , xn ) P{ X1 x1, X2 x2 , , Xn xn }
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F ( x, y) pij ,
xi x y j y
其中和式是对一切满足xi x, y j y 的i, j求和.
三、二维连续型随机变量
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数:
F ( x, y) P{(X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1} P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
y
2(1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
称为随机变量( X1, X 2 , , X n )的联合分布函数.
五、小结
1. 二维随机变量的分布函数
F( x, y) P{X x,Y y}.
2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2, ;
F ( x, y) pij . xi x yjy
3. 二维连续型随机变量的概率密度
yx
F( x, y)
f (u,v) dudv.
第二节 边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
一、边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X ,Y 的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
p11 p21 p12 p22
p1 j p2 j
xi
pi1 pi 2 pij
例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律.
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4,
或二维随机变量.
• X (e)
图示
•e S
•Y (e)
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
F ( x, y)的函数值就是随机点落在如图所示区
域内的概率.
y (x, y) •
X x,Y y
o
x
(2) 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ). 2o 0 F( x, y) 1, 且有
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X
i,Y
j}
P{Y
j
X
i}P{ X
i}
11, i4
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8 12 16
1
11
8 12 16
11
0 12 16
1
0
0 16
例2 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数. 1 2 2
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2, , 称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1 x2
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例4 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e(2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其它.
(1) 求分布函数 F ( x, y); (2) 求概率 P{Y X }.
FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2, .
记
pi• pij P{ X xi }, i 1,2, ,
解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), (2,1), (2,2).
P{ X 1,Y 2} 1 2 1 , P{ X 2,Y 1} 2 1 1 ,
32 3
32 3
P{X 2,Y 2} 2 1 1 . 32 3
p11 0,
p12
p21
p22
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
二、二维离散型随机变量
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2, , 记
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 S {e},
设 X X (e) 和 Y Y (e) 是定义在 S 上的随机变量,
由它们构成的一个向量( X ,Y ), 叫作二维随机向量
,
(x, y) D,
0, 其他.
则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
f (x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
j 1
p• j pij P{Y y j }, j 1,2, ,
i 1
分别称 pi• (i 1,2, ) 和 p• j ( j 1,2, ) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x
对于任意固定的 x, F( x,) lim F( x, y) 0, y
F (,) lim F ( x, y) 0, x y
F (,) lim F ( x, y) 1. x y
3o F ( x, y) F ( x 0, y),F ( x, y) F ( x, y 0), 即 F ( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
( x , y ),
其中μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ均为常数,且σ1 0,σ2 0,1 ρ 1.
则称( X ,Y )服从参数为μ1, μ2 ,σ1,σ2 , ρ的二维 正态分布.记为
( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2 ,σ12 ,σ22 , ρ)
二维正态分布的图形