(第4题) 4.【中考·阜新】如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是____________. 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5.【中考·聊城】二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是() (第5题) 6.如图,A(-1,0),B(2,-3)两点在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx -3的图象上. (1)求m的值和二次函数的解析式. (2)设二次函数的图象交y轴于点C,求△ABC的面积. (第6题)
二次函数的概念和图像
二次函数 二次函数的概念: 问题1、现有一根12m 长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ,它的面积最大,他说的有道理吗? 问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”. 探索: 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系: (1)面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建一个矩形温室,其周长为120m , 设一条边长为 x (m), 求其面积 y (m 2) 与边长的关系式. 上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 归纳总结:上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 二次函数 1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数,a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,称a 为二次项系数, b 为一次项系数,c 为常数项, 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 (一) 做一做 1、 下列函数中,哪些是二次函数? (1)2 x y = (2) 21x y - = (3) 122 --=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2-+--=x x x y
中考二次函数图象信息题赏析
中考二次函数图象信息题赏析 二次函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的有价值的信息,用好这些信息有助于培养和提高同学们分析问题,解决问题的能力.为考查同学们的“数形结合思想”和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题便成了近年来各地中考的热点,解答这类题的关键是准确分析解析式中的有关量与函数图象的位置关系,正确地 进行“数”和“形”的转换.现精选两例08年中考题,归类浅析如下,供同学们鉴赏: 一、由系数的符号确定其图象的位置 例1(2008年山东省泰安市中考题)在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠)的图象可能..是( ) 解析:本例将二次函数与一次函数的图象 放在同一直角坐标系中,加大了知识的考查力 度,解决这类问题的基本方法是排除法,数学思 想方法是数形结合和分类讨论. (1)如果m >0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象上升,且与y 轴的交点在x 轴上方,很明显,只有(C)满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m >0时,其开口方向应向下,显然不合,所以(C)不可能. (2)如果m <0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象下降,且与y 轴的交点在x 轴下方,这(A)、(B)和 (D)都满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m <0时,其开口方向应向上 ,所以(A)不可能. 对称轴m m a b x 1)(222=-?-=-=<0,应在y 轴的左侧,故(B)也不可能. 只有(D)满足条件,故应选(D). 二、由抛物线的位置确定系数及其代数式的符号 例3(2008年四川省乐山市中考题)已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示, 令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-,则 A..M>0 B. M<0 C. M=0 D. M 的符号不能确定 解析:解决本例的基本思想仍然是数形结合.由抛物线在坐标 系中的位置,确定其系数及其代数式的符号. (1)由图象可知,当2-=x 时,其对应点在x 轴的上方,即y >0,则c b a +-24>0; (2)由图象可知,当1=x 时,其对应点在x 轴的下方,即y <0,从而c b a ++<0; (3)抛物线开口向下,a <0,对称轴在y 轴的左侧,则a b 2-<0,由a <0,得到 b <0,所以b a +2<0;
《二次函数的图象》典型例题1
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象》典型例题 例1 已知二次函数,当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式。 例2 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示,那么代数式b+c-a与零的关系是() A.b+c-a=0; B.b+c-a>0; C.b+c-a<0;D.不能确定。 例3 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是() 例4 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点,且A点在x轴的正半轴上,B点在x轴的负半轴上,OA的长是a,OB的长是b。 (1)求m的取值范围; (2)若a∶b=3∶1,求m的值,并写出此时抛物线的解析式; (3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是M,问:抛物线上是 否存在点P,使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。
例5 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴相交于点)0,6(A ,顶点B 的纵坐标是-3. (1)求此二次函数的解析式; (2)若一次函数m kx y +=的图像与x 的轴相交于)0,(1x D , 且经过此二次函数的图像的顶点B ,当62 3≤≤m 时, (ⅰ)求1x 的取值范围; (ⅱ)求BOD ?(O 为坐标原点)面积的最小值与最大值. 例6 求函数解析式的题目 (1) 已知二次函数的图像经过点(-1,-6),(1,-2)和(2,3),求这个二次函数的解析式. (2) 已知抛物线的顶点为)3,1(--,与y 轴交点为)5,0(-,求此抛物线的解析式. (3) 已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A ,)0,1(B ,并经过点)1,0(M ,求抛物线的解析式.
二次函数图像与系数之间的判断
己知二次3lSSy=ax^+bx+c 的囹金如囹所示?2a+b=0 ?② b^-4ac>0 ? €>4a-2b+c>0 ? @abc>0 ? €>3a+c>0 .贝(以上结论正隔的有( )个? I ? RD2a+b=0i抛物线与xii有两个交点,则厶=b2-4ac>0 i x=-2时的函埶值为正,则4a-2b+c> 0;魅柳线开口向上?a>0.而b=-2a>得到b<0.由于槌物线与y紬的交点在x紬下方,得到cVO,贝Jabc>0;由于x=3时对应的函数图象在x柚 上方?得到9a+3b+c>0.然后把b“2a代入即可得到3a+c>0. 解普二W:???拠物I线的对称紡为宜线x“,???■ g=l,RD2a+b=0 >所以①正确;2a ???牠物线与x柚有两个交点? A A=b2-4ac>0.所以2)佶溪; ???当炉-2时对应的因数囹猱在x釉上方? A4a-2b+c>0.所以◎正确; ???抽物线开口向上? A a>0 ?而b=-2a? Ab<0? ???牠物线与y柚的交点S/toT方? ?--c<0. ?'? ab c > 0 ?所以◎正; 当片3时对应的函数图象左x柚上方?即y>0, ?*? 9a+3b+c >0 > 而b=-2a? A3a4.c>0>所以⑤正X? 故送B? (2011-宝i氐区二模)已知:二;欠函数y=ax2*bx*c的團象如图所示,那么下列结论中:①abc>0;②b"2a; ?5a-2b<0; @a-b+c> 0.正确的个数是(〉 考焦二次函数團象与系数的关系. 专題]推理填空?5? 分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挞物线的对称轴确定出b的情况,抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰 法运算的符号 运算法则解答J ②根1居对称轴为沪?1解答: ③根1居②得出的“ b的关系,用a表示b,然后代入解关于a的不等式,再根抿a的取值范围进行判肝; ④根1 居沪-1时的函数值是正数判断. 解爹二解:①???二次函数图象开口冋下, :.a<0, ???与y轴的正半轴相交, /.c>0, 又???对称轴x=-^=-1, la /.b=2a<0, /.abc>0,故本小题正确; ②由①可iD, b-2a,故本小題错误, ?Vb=2a, /.5a-2b=5a-2X2a=a, A5a-2b<0,故本小题正确; ④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确?综上所述,正确的有①①⑥共3个. 筠点: 二次函数图象与系数的关系. : 压釉题;埶形结合. 根堀抛拥线的对称轴为百线可得至卜寻 A. 4个 B. 3个C?2个
1.2二次函数的图象与性质(1)
第1章二次函数 1.1 二次函数 1. 理解具体情景中二次函数的意义,理解二次函数的概念 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系式 ,并能根据实际问题确定 自变量的取值范围 ? 阅读教材第2至3页,理解二次函数的概念及意义 ? 自学反馈学生独立完成后集体订正 ① 一般地,形如 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,且a 丰0)的函数叫做二次函数,其中二次项系数、一次项系数和常数项 分别为a 、b 、c. ② 现在我们已学过的函数有一次函数、反比例函数、二次函数,它们的表达式分别是 y=ax+b(a 、b 为常数,且 a k 2 工 0)、y= (k 为常数,且 k 丰 0)、y=ax+bx+c(a 、b 、c 为常数,且 0). x ③ 下列函数中,不是二次函数的是 (D ) 2 2 1 2 2 A.y=1-、. 2x B.y=(x-1) -1 C.y= (x+1)(x-1) D.y=(x-2) -x 2 ④ 二次函数y=x 2+4x 中,二次项系数是 1,一次项系数是4,常数项是0. ⑤ 一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 S 与半径r 之间的关系式. 2 解: S 表=4 n r ⑥ n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m 与球队数n 之间的关系式. & 1 2 1 解:m= _ n - _ n 2 2 艸师■-总判断二次函数关系要紧扣定义 . 活动1小组讨论 2 例1若y=(b-1)x+3是二次函数,则 b ^1. 二次项系数不为0. 2 例2 —个正方形的边长是 12 cm ,若从中挖去一个长为 2x cm,宽为(x+1)cm 的小长方形,剩余部分的面积为 y cm . ① 写出y 与x 之间的关系表达式,并指出 y 是x 的什么函数? ② 当小长方形中x 的值分别为2和4时,相应的剩余部分的面积是什么? 2 2 解:①y=12 -2x(x+1),即 y=-2x -2x+144. A y 是 x 的二次函数; ②当x=2和4时,相应的y 的值分别为132和104. O?髓几何图形的面积一般需画图分析,相关线段必须先用 x 的代数式表示出来. 活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 解:k=2 不要忽视k+2工0. 1 2. 设 y=y 1-y 2, 若y 1与x 2成正比例,y 2与一成反比例,则y 与x 的函数关系是(C ) x A.正比例函数 B.一次函数 C 二次函数 D.反比例函数 ,掌握二次函数的一般形式 1.如果函数y=(k+2)x k 2 丄是y 关于x 的二次函数,则 k 的值为多少?
二次函数图像性质及应用
.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2
二次函数a b c 的符 判断问题
二次函数的符号问题 1.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc <0;②2a ﹣b=0;③4a+2b+c <0;④若(﹣5,y 1),(1,y 2)是抛物线上两点,则y 1>y 2.其中说法正确的是( ) A .①② B . ②③ C . ①②④ D . ②③④ 2.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为D(-1,2),与x 轴的一个交点A 在点(-3,0)和(-2,0)之间,有四个结论:①b 2-4ac <0;②a +b +c <0;③2c -b =4; ④方程ax 2+bx +c -2=0有两个不相等的实数根.其中正确结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象如图,其对称轴为x =-1,有下面五个结论:①b >0;②24b ac ->0;③c=-3a ;④4a -2b+c >0;⑤对于图象上的两个不同的点(m ,n )、(-1,k ),有n k >.其中正确结论有() A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 4.抛物线2y ax bx c =++图象如图所示,给出下列四个结论:①abc >0;②2a b c ++=;③12a >;④b <1.其中正确的结论是(????) (A )①②??(B )②③??(C )②④??(D )③④ 5.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示,有以下结论:① b 2﹣4 c >0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1<x <3时,x 2+ (b ﹣1)x+c <0.其中正确的个数为( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 6.小轩从如图所示的二次函数y=ax +bx+c (a ≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab >0;②a+b+c <0;③b+2c >0;④a ﹣2b+4c >0;⑤ . 你认为其中正确信息的个数有( ) A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个 7.已知二次函数y=ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,有 下列5个结论:①abc <0; ②b <a +c; ③4a +2b+c>0
二次函数图像信息题资料讲解
二次函数图像信息 1.已知二次函数的图象如图所示,有下列结论:① ; ② ;③ ;④ .其中,正确结论的个数是 ( ) A. B. C. D. 2. 二次函数的图象如图所示,则,,,,这几个式 子中,值为正数的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知抛物线(是常数),点,在抛物线上,若, ,则下列大小比较正确的是 A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中,直线(为常数)与抛物线交于、两点,且点在 左侧,点的坐标为,连接、.有以下说法:① ;②直线、关 于对称;③当时,;④ 面积的最小值为 其中正确的是(写出所有正确说法的序号) ( ) A. ①,③,④ B. ②,③ C. ②,④ D. ②,③,④ 5. 已知二次函数的图象如图所示,有下列结论:① ;② ; ③ ;④ .其中,正确结论的个数是 A. B. C. D.
6. 二次函数的图象如图,给出下列四个结论: ① ;② ;③ ;④ , 其中正确结论的个数 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 函数与的图象如图所示,有以下结论: ① ;② ;③ ; ④当时,; 其中正确的个数是 ( ) A. B. C. D. 8. 已知二次函数在坐标平面上的图形通过、两点.若,, 则的值可能为 ( ) A. B. C. D. 9. 某同学从如图所示的二次函数的图象中,观察得出了下面五条信息: (1);(2);(3);(4);(5).你认为其中正确信 息的个数有
A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分,对称轴是直线,有下列结论: ① ;② ;③ ;④若点与是抛物线上的两点,则 .其中,正确的结论是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 11. 如图,是二次函数图象的一部分,图象过点,对称轴为,给出四 个结论: ① ;② ;③ ;④ . 其中正确结论的个数是 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 小明从图所示的二次函数的图象中,观察得出了下面五条信息: ① ;② ;③ ;④ ;⑤ , 你认为其中正确信息的个数有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 13. 已知抛物线(,,为常数),当取不同的实数时,其顶点在某函数 图象上移动,则该函数是下列函数中的 ( )
26.1.3 二次函数的图象(二)
26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2的图象(二) 九年级下册 编号04 【学习目标】 1.会画二次函数2)(h x a y -=的图象; 2.知道二次函数 2)(h x a y -=与2ax y =的联系. 3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质,并会应用; 【学习过程】 一、知识链接: 1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为 。 2.将抛物线 142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。 二、自主学习 画出二次函数 2)1(+=x y ,2)1(-=x y 的图象;先列表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (2) ) 1(+=x y … … 2 ) 1(-=x y … … 归纳:(1)2)1(+=x y 的开口向 ,对称轴是直 线 ,顶点坐标是 。 图象有最 点,即x = 时,y 有最 值 是 ; 在对称轴的左侧,即 x 时,y 随x 的增大而 ;在对称轴的右侧,即x 时y 随x 的增大而 。 2 )1(+=x y 可以看作由 2 x y =向 平移 个单位形成的。 (2) 2)1(-=x y 的开口向 ,对称轴是直 线 ,顶点坐标是 , 图象有最 点,即x = 时,y 有最 值是 ; 在对称轴的左侧,即x 时,y 随x 的增大而 ;在对称轴的右侧,即x 时y 随x 的增大而 。 x y y = x 2 1–1–2–3–4–5–6–712345678 –1–2 1 2345678910O
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。 三、知识梳理 (一)抛物线2)(h x a y -=特点: 1.当0a >时,开口向 ;当0a <时,开口 ; 2. 顶点坐标是 ; 3. 对称轴是直线 。 (二)抛物线 2)(h x a y -=与2y ax =形状相同,位置不同,2)(h x a y -=是由2 y a x = 平移得到的。(填上下或左右) 结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律:左 右 ,上 下 。 (三)a 的正负决定开口的 ; a 决定开口的 ,即 a 不变,则抛物线的形状 。因为平移没 有改变抛物线的开口方向和形状,所以平移前后的两条抛物线a 值 。 四、课堂训练 1.抛物线 () 2 23y x =+的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是直线_______;当x 时, y 随x 的增大而减小;当x 时,y 随x 的增大而增大。 2. 抛物线 22(1)y x =--的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是直线_______;当x 时, y 随x 的增大而减小;当x 时,y 随x 的增大而增大。 3. 抛物线221y x =-的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是_______; 4.抛物线 25y x =向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为______________. 5. 抛物线 24y x =-向左平移3个单位后,得到的抛物线的表达式为______________. 6.将抛物线()2 123 y x =- -向右平移1个单位后,得到的抛物线解析式为__________. 7.抛物线 () 2 42y x =-与y 轴的交点坐标是_______,与x 轴的交点坐标为________. 8. 写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线 22y x =-都相同的二次函数解析式_______________.
从二次函数图象-抛物线获得信息
从二次函数图象------抛物线中获取信息2015.01.05 一.选择题(共19小题) 1.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中: ①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1,x2=3;③a+b+c>0;④当x>1时,y随着x的增大而增大. 正确的说法个数是() 2.小明从二次函数y=ax+bx+c的图象(如图)中观察得到了下面四条信息:①c<0;②abc<0;③a﹣b+c>0; ④2a+3b=0;你认为正确的信息是() 3.(2005?武汉)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a>;④b<1.其中正确的结论是() 4.抛物线y=ax+bx+c的图象如图,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a﹣b+c<0;④b﹣4ac<0.其中正确的结论是() 5.(2002?哈尔滨)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图,下列结论:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a﹣b+c>0.其中正确的个数是()
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论正确的有()个. ①abc<0,②2a+b=0,③a﹣b+c>0,④4a+2b+c>0,⑤b>﹣2c. 7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列各式中成立的个数是() (1)abc<0;(2)a+b+c<0;(3)a+c>b;(4)a<﹣. 8.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论: ①a+b+c<0;②a﹣b+c>0;③abc<0;④b=2a;⑤△<0.正确的个数是() 中正确的有() 10.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,请你根据图中的信息判断下列四个结论: