综合法和分析法(公开课教案)

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练 习 在锐角ΔABC中, 求证 : tan A tan B 1 证 明 要证明tan A tan B 1 sin A sin B 只需证 1 cos A cos B 因为A, B为锐角 , 所以cos A 0, cos B 0
只需证cos A cos B sin A sin B 只需证cos A cos B sin A sin B 0
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
Q 结论 n Q
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例 1
已知a, b, c是不全等的正数 , ab bc ca 求证 : lg lg lg lg a lg b lg c 2 2 2
证明:
a, b, c 0
作业布置
1．必做题：教材P89 练习1、2题． 2．选做题：教材习题2.2 B组2、3题．
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感谢各位领导和老师的 莅临指导!!!
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发现:本题主要是从已知条件出发,利用我们所熟知的基本不等式 及不等式性质来进行证明的!
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一. 综合法 (由因导果法,顺推法)
1.定义： 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 及运算法则等，经过一系列的推理论证，最后推导出 所要证明的结论成立. 由因导果，从“已知”看“可知”，逐步 2.思维特点： 推向“未知”，其逐步推理 ，实际是寻找 它的必要条件． 3.框图表示： (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论)
寻找它的充分条件. 3.框图表示： (用Q表示要证明的结论,P表示充分条件)
结论 Q Q P 1
P 1 P 2
P2 P3
明显成立的条件
要证：...... 只需证：...... 只需证：...... ......显然成立 所以,结论成立
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4.分析法的书写格式：
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由上可知A B C

3
所以△ABC为等边三角形．
总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成 图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 16:58 8/14
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回顾 《必修五》中,我们如何证明基本不等式 的 ,指出其中的证明方法的特点.
析 法
只需证 21 5 只需证21 25 因为21 25显然成立.
所以 3 7 2 5
综 合 法
3 7 2 5
在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于 我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1
综合法和分析法 赵尚平 (一)
2013-4-16
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复习回顾
猜想是 否正确？
否定猜想? 肯定猜想?
只要前提和推理 形式都是正确的, 结论必定是正确的.
只需证cos(A B) 0 因为C为锐角 , 所以A B C为钝角 所以cos(A B) 0恒成立
所以 tan A tan B 1
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课时小结 本节课所学的知识结构
1.综合法和分析法是思维方向相反的两种思考方法. 2.在数学解题中: (1)综合法是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论. (2)分析法是从数学题的待证结论出发，一步一步地探索使它成立的充分条件，最后把要证 明的问题归结为一个明显成立的条件. (3)对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，分析法表现为执果索因，它们是寻求解题 思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.
总结：本题主要综合运用 已知条件,基本不等式, 不等式性质以及对数的 运算性质来证明.
16:58 6Hale Waihona Puke Baidu14
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练习 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a, b，c,且A,B,C成等差数列,
a, b，c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
证明
由A, B, C成等差数列 , 有2B A C
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二.分析法 (执果索因法,逆推证明法)
1.定义： 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,
把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、 定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.
执果索因,从“未知”看“需知”，其逐步推理，实际上是 2.思维特点：
例 3
求证 : 3 7 2 5
证明: 21 25 21 5
2 21 10
10 2 21 20
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
证明:
因为 3 7和2 5都是正数 所以要证 3 7 2 5 只需证( 3 7 )2 (2 5)2 分 展开得 10 2 21 20
2 2 2 2
证明: 因为b2 c 2 2bc, a 0
所以a(b 2 c 2 ) 2abc 因为c 2 a 2 2ac, b 0 所以b(c 2 a 2 ) 2abc 因此, a(b2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) 4abc
观察这种 证明方法 的特点!
ab bc ca ab , bc , ca , 2 2 2 ab 1 lg lg ab (lg a lg b), 2 2 bc 1 lg lg bc (lg b lg c), 2 2
lg
ca 1 lg ca (lg c lg a), 2 2 以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等， ab bc ca 所以 lg lg lg lg a lg b lg c 2 2 2
a b ab(a 0, b 0) 2
证明 要证
只需证a b 2 ab 只需证a b 2 ab 0 只需证( a b )2 0
ab ab 2
因为上式显然成立,所以原不等式成立.
ab ab 2 a b 2 ab 思考: 这种证明方法 2 有什么特点呢? 2 ( a b) 0 2 ab ab 2 证明 :
举反例
证明
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直接证明中最基本的两种证明方法 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 (一)
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思考 :已知a, b 0, 求证: a(b c ) b(c a ) 4abc
由A, B, C为ABC的内角 , 有A B C
B
3
由余弦定理, 有
2 2 b 2 a 2 c 2 2ac cos B a 2 c 2 ac a c ac ac
由a, b，c成等比数列，有b2=ac. ( a c) 2 0 a c AC