数学建模-综合评价模型及其应用

不 妨 假 设 n个 被 评 价 对 象 的 m个 评 价 指 标 向 量 为 x(x1,x2, ,xm )T， 指 标 权 重 向 量 为 w (w 1,w 2, ,w m )T， 由 此 构 造 综 合 评 价 函 数 为 yf(w ,x)。
如果已知各评价指标 n的个观测值为 {xij}(i1,2, ,n;
选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）
y f (w, x) ， 由此计算综合评价指标函数值 yi f (w, x(i) )(i 1, 2, , n) ，并 按 yi (i 1, 2, , n) 取值的大小对 n 个系统进行排序或分类。
问题:如何来构造合适的综合评价模型？
三三、、综综合合评评价价模的型数的学建模立型方法
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即 权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可 信度，甚至影响到最后决策的正确性。
（4）综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。
当“很不满意”时，则隶属度为 0.01，即 f (1) 0.01．
[1 a (x b )2 ]1,1 x 3
f (x) a ln x b , 3 x 5
其中a, b , a,b 为待定常数．
计算得 a 1.1086, b 0.8942, a 0.3915, b 0.3699。
- 定性指标
1、评价指标类型的一致化
1.1 将极小型化为极大型
倒数法：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
' j
1 xj
平移变换法 xj' Mj xj
其中
M j m 1ina xijx
1.2 将居中型化为极大型
对于居中型指标 x j
xj取中间值Mj
2
mj
为最好，要将其化大 为型 极指标，令
x'j
2(xj mj 2(MMjjmxjj Mj mj
2、 构成综合评价问题的五个要素
（2）评价指标
评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基 本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不 同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。
一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每 一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指 标体系。
2. 评价指标的无量纲化
（2）极值差方法: 令xij
xij mj Mj mj
(i1,2,
,n;j1,2,
,m)，
其中Mj m 1iaxn{xij},mj m 1iinn{xij}(j1,2, ,m)。则xij [0,1]
是无量纲的指标观测值。
（3）功效系数法: 令xij
cxijmj d(i1,2, Mj mj
j1,2, ,m)， 则 可 以 计 算 出 各 系 统 的 综 合 评 价 值 yi f(w,x(i))， x(i)(xi1,xi2, ,xim)T(i1,2, ,n)。 根 据 yi(i1,2, ,n)值 的 大 小 将 这 n个 系 统 进 行 排 序 或 分 类 ， 即 得 到 综 合 评 价 结 果 。
2、 构成综合评价问题的五个要素
（5）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，
也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。
3、综合评价的一般步骤
1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程 度？）
2．建立评价指标体系 3. 对指标数据做预处理
1. 线性加权综合法
m
线 性 加 权 综 合 法 :用 线 性 加 权 函 数 y wjxj j1
作 为 综 合 评 价 模 型 ， 对 n个 系 统 进 行 综 合 评 价 。
线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相 互独立。
对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导 致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地 反映实际。
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如 何合理量化？
根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。
假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C，
D,E共5个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。
譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为
{很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意}
将其5个等级依次对应为5，4，3，2，1。 这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函
数作为隶属函数：
f
(x)
[1 a (x
b )2
]1 ,1
x
3
a ln x b , 3 x 5
其中 a , b , a, b 为待定常数．
当“很满意”时，则隶属度为１，即 f (5) 1；
当“较满意”时，则隶属度为0.8，即 f (3) 0.8；
（1）标准差方法:
令xij
xij xj sj
(i 1,2,
,n; j 1,2,
,m) ，
其中xj
1 n
n i1
xij,sj
[1 n
n
(xij
i1
xj)2]12(j
1,2,
,m)。
显然指标xij(i 1,2, ,n; j 1,2, ,m)的均值和均方差分别为0
和1，即xij [0,1]是无量纲的指标，称之x为ij 的标准观测值。
综合评价方法及其应用
一、什么是综合评价问题
历年竞赛题
（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （2）CUMCM2001-B:公交车调度问题； （3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题； （5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题； （6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； （7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题； （8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题； （9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题； （10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题； （11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
使用。
2. 非线性加权综合法
m
非线性加权综合法: 用非线性函数 y
xwj j
（1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提 出了如何使指标一致化的问题；
• （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除 指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值 大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指 标进行无量纲化处理——计算单项评价值。
4．确定各个评价指标的权重 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指 标的定量处理问题。
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素 质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能 力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题 。
如何对有关问题给出定量分析呢？
按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。
1. 线性加权综合法
线性加权综合法的特点： （1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性
补偿，保证综合评价指标的公平性； （2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明
显，即权重较大指标值对综合指标作用较大； （3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结
果对于各备选方案之间的差异表现不敏感； （4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广
) )
, ,
mj xj Mj
Mj mj 2
xj
mj 2
Mj
其中Mj＝max(xij),mj min(xij)
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
b c
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
1、综合评价的目的
综合评价一般表现为以下几类问题：
ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类， 但不同于复合分组（重叠分组）；
ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序）；
ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一 事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度、 现代化的实现程度。当然必须有参考系。
如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价 过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得 到错误的评价结论。
无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。 常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。
2. 评价指标的无量纲化
假 设 m个 评 价 指 标 x1,x2, ,xm， 在 此 不 妨 假 设 已 进 行 了 类型的一致化处理，并都有n组样本观测值 xij(i1,2, ,n;j1,2, ,m)， 则 将 其 作 无 量 纲 化 处 理 。
2、 构成综合评价问题的五个要素
构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、 评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。
（1）被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类
的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有 n个 被评价对象（或系统） ，分别记为S1,S2, ,Sn(n1)。
2、 构成综合评价问题的五个要素
（3）权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某 种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的， 评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数
来刻画。如果用wj 来表示评价指标xj ( j 1,2, ,m) 的
m
权重系数，则应有wj 0( j 1,2, ,m) ，且 wj 1 。 j1
二、评价指标的规范化处理
1. 评价指标类型的一致化
一 般 说 来 ， 在 评 价 指 标 x1,x2, ,xm (m 1)中 可 能 包
含 有 “ 极 大 型 ” 指 标 、 “ 极 小 型 ” 指 标 、 “ 中 间 型 ” 指 标 和 “ 区 间 型 ” 指 标 。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太 小为好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定 的区间内为最好。
,n;j1,2,
,m)，
其中c,d均为确定的常数。 c 表示“平移量” ， d 表示“旋转量” ，即
表示“放大”或“缩小”倍数，则xij [c,cd]。 譬如若取c60,d40，则xij [60,100]。
三、综合评价模型的建立方法
为了全面地综合分析评价被评价对象的运行（或发展）状
况，如果已知 n 个状态向量（即 n 组观测值） x(i) (xi1, xi2 , , xim )T (i 1, 2, , n) ，则根据 m 个评价指标的 实际影响作用，确定相应的权重向量 w (w1, w2 , , wm )T ，且
则
f
(
x)
1
1.1086(
x
0.8942)
2
1 ,1 x 3
0.3915ln x 0.3699 , 3 x 5
f
(x)
1
1.1086( x
0.8942)
2
1 ,1 x 3
0.3915ln x 0.3699 ,
3 x5
根据这个规律， 对于任何一个评价值， 都可给出一个合适的 量化值。
据实际情况可构 造其他的隶属函数。 如取偏大型正态分布。
二、评价指标的规范化处理
2. 评价指标的无量纲化
在 实 际 中 的 评 价 指 标 x1,x2, ,xm(m1)之 间 ， 往 往 都 存
在 着 各 自 不 同 的 单 位 和 数 量 级 ， 使 得 这 些 指 标 之 间 存 在 着 不 可 公 度 性 ， 这 就 为 综 合 评 价 带 来 了 困 难 ， 尤 其 是 为 综 合 评 价 指 标 建 立 和 依 据 这 个 指 标 的 大 小 排 序 产 生 不 合 理 性 。
评 价 指 标 体 系 应 遵 守 的 原 则 ： 系 统 性 、 科 学 性 、 可 比 性 、
可 测 性 （ 即 可 观 测 性 ） 和 独 立 性 。 这 里 不 妨 设 系 统 m 有个 评 价 指 标 （ 或 属 性 ） ， 分 别 记 为 x1,x2, ,xm(m1)， 即 评 价 指 标 向 量 为 x(x1,x2, ,xm)T。