10-球面坐标系下计算三重积分PPT

2n, cos^ 4
1 顼(X 2 + y 2)dxdydz
Q
- 2〃
a
。 \ °\ ( 生
=
d
Jo”
p
0d
5
0 cos
r4
冗 。。 0 2冗a J sinf34 sdinr3 —0)d
10
•- ( U
做点M的球面坐标.
0 < r v +8,
0 < 0 < 冗,
0 < 9 < &・
z,
r -M(x, y, z)
二、y X P ( x, y ,0)
如图，设点M在xoy面上的投影为R 点P 在x轴上的投影为A, 则 OA = x, AP = y, PM = z.
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sin^cos^, y = r sin Osin 0, z = r cosO.
V
如图，三坐标面分别为
,为常数A球面;
演常数A 圆园锥面;
妫常数A半平面.
二、直角坐标到球面坐标的变换公式
z
球面坐标系中的体积元素为
dV = r2 s\n3drd0d^,
JJJ f (x, y, z )dxdydz =
Q
JJJ f (r sin cos cp,rsin^sin^,rcosQ)r sinOdrdOd^.
Q
例 1 计算 I = JJJ(x2 + y2)dxdydz，其中Q是锥面x2 + y2 = z2
Q
与平面z = a (a > 0)所围的立体.
解 釆用球面坐标:
a z~a nr = cose9
222 兀
X + J ห้องสมุดไป่ตู้乙 ne = 4,
a
丸
・・・Q : 0 < r <----, 0 < e <-, 0 < 9 <
球面坐标下计算三重积分
I
I
,
一、球面坐标介绍
设M(x,y,z)为空间内一点，则点M可用 三
个有次序的数尸，Q, 9来确定，其中尸为原 点O与点M间的距离，0为有向线段OM与 z 轴
正向所夹的角，9为从正z轴来看自x轴按 逆时
针方向转到有向线段OP的角，这里P为 点M
在xoy面上的投影，这样的三个数r，0, 9就叫