巧用中线的性质解题

我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.

一、巧算式子的值

例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (12)

n +的值（结果用n 表

示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求

23411112222++++ (1)

n +的值.

图1

解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两

个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +1

n +表示：组成面积为1的

大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (1)

n +112n =-.

【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积

例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

图2 解析：连接CG ，不难得出BCF

DCE

，从而BEG

DFG

S S

=，

由E、F分别是BC和CD的中点，

可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，

因此S

四边形ABGD

ab4

=ab.

【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.

三、巧等分土地

例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．

图3

解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.

方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．

(1) (2) (3)

方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．

方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．

【点评】三角形面积计算公式为1

×底×高，因此解题的关键是找出底、高

分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．

高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质

函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.

即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②

用圆的几何性质解题

用圆的几何性质解题圆是一个特殊的图形,它有许多重要的性质.在涉及到圆的有关问题时，若能抓住题设中圆的图形特征和数量关系，充分利用圆的有关几何性质，常常可得到简捷的解法.现举例说明如下：性质1 “圆的弦的垂直平分线必过圆心” 例1 过点),(),,(1111--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 . （01年全国高考题）分析：∵线段AB 为所求圆的弦，由性质1知，点C 为AB 的垂直平分线与已知直线的交点，联立两直线方程组成方程组，解得),(11C .∴所求圆的方程为.)()(41122=-+-y x 例2 设圆过双曲线116 92 2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .（98年全国高考题）分析：由图形的对称性，不妨设圆心在右支上. 如图1，由条件知，线段AF 1为⊙C 的弦，根据性质1，可得AF 1的垂直平分线直线CD 段，由题设知A 、 F 1的横坐标分别为3、5，∴圆心C 的横坐标为4 ，故圆心C 的纵坐标为±437，∴圆心C 到双曲线的中心的距离为42+(±437)2 = 163 . 点评：以上两例的关键在于确定圆的圆心。根据题设已知圆的弦，由性质1，得圆心必在此弦的垂直平分线上. 性质2 “圆中90°的圆周角所对的弦是直径” 例3 设直线3x +4y +m =0与圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0相交于点P 、Q 两点，当m 为何值时，OP ⊥OQ ？分析：如图2，因圆C 1：x 2+y 2+x -2y =0过原点，则∠POQ 是圆C 1的圆周角，且为直角.由性质2，可知PQ 为⊙C 1的直径，即直线3x +4y +m =0过⊙C 1的圆心C 1（- 12 ，1）即3×(- 12)+4×1+m =0 ∴m = - 52 . 点评：处理直线与圆的位置关系常用△法或几何法.本例由于直线与圆的交点和原点的连线互相垂直,且原点在圆上,由性质2,知PQ 为直径,从而得以上解法. 性质3 “圆中同一条弦所对的圆周角小于它所对的圆角” 例4 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值围是 .（00年全国高考题）分析：以F 1F 2为直径作圆：522=+y x ,与椭圆14922=+y x 联立，解得A 、B 两点的横坐标分别为 - 3 5 5，3 5 5.由性质2，知点P 在椭圆的AB 或CD 弧线（在辅助圆）上时，∠F 1PF 2为钝角 (如图3)，故点P 的横坐标的取值围是（- 3 5 5，3 5 5 ）. 点评：本题看似与圆无关,但通过构作辅助圆,并利用其几何性质,让问题变得直观明了,便于图1 图2 图3

《1.3 函数的基本性质》测试题

《1.3 函数的基本性质》测试题一、选择题 1.下列函数中，是奇函数的为( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数奇偶性的定义. 答案：A. 解析：的定义域是，∴ ，∴，∴是奇函数. 2.已知函数在内单调递减，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 考查目的：主要考查函数的单调性、二次函数、一次函数的图象和性质. 答案：C.

解析：函数在内单调递减，则须在上单调递减和在上单调递减，且，∴ ，∴. 3.已知奇函数在区间上的图像如图，则不等式的解集是( ). A. B. C. D. 考查目的：主要考查奇函数的图象特点，以及利用图象解题. 答案：B. 解析：奇函数的图象关于原点对称，画出函数的图象，由图得，选B. 二、填空题

4.设是定义在上的奇函数，当时，，则 . 考查目的：本题考查函数的奇偶性以及函数值的求法. 答案：-3. 解析：. 5.已知，则函数的单调增区间是. 考查目的：考查函数单调区间的概念及二次函数的单调性. 答案：解析：抛物线的开口向下，对称轴为直线，故函数在递增，在递减，所以函数的单调增区间是. 6.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是. 考查目的：考查利用函数的奇偶性和单调性解题. 答案：. 解析：∵函数在上是奇函数且为单调增函数，∴由得，∴，∵，∴恒成立，∴.

三、解答题 7.函数对于任意的，都有，若时，，求证：是上的单调递减函数. 考查目的：主要考查利用函数的单调性定义证明函数的单调性. 解析：任取，则，由时，，得，根据，有，所以，即，所以是上的单调递减函数. 8.已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时，. ⑴现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间； ⑵写出函数的解析式和值域. 考查目的：主要考查奇偶函数图象的画法，分段函数解析式，根据图象写函数的单调区间. 解析：⑴根据偶函数图像关于轴对称补出完整函数图像(如图).

初中数学巧用辅助圆解题

初中数学巧用辅助圆解题添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝AC ＝AD ＝p ，BC ＝q ，求BD 的长．解析：以点A 为圆心、AB 为半径作⊙A ．因为AB ＝AC ＝AD ，所以B 、C 、D 三点在⊙A 上．延长BA 交⊙A 于点E ，连结DE ．因为DC ∥EB ，所以弧ED ＝弧BC ，所以ED ＝BC ＝q ．在Rt △BDE 中，根据勾股定理，得BD ＝．例2 如图， PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝5，PD ＝3，求AD·DC 的值．解析：以点P 为圆心、P Ｂ为半径的作⊙P ．因为PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，所以点Ａ、B 、C 在⊙P 上．此时⊙P 的直径BE ＝10，DE ＝8，DB ＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16 二、作三角形的外接圆例3 如图，D 、E 为△ABC 边BC 上的两点，且BD=CE ，∠BAD=∠CAE ，求证：AB=AC ．解析：作△ADE 的外接圆，分别交AB 、AC 于点M 、N ，连结MD 、NE ．因为∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE+∠DAE ，即∠NAD ＝∠MAE ．因为∠BDM ＝∠MAE ，∠CEN ＝∠NAD ，所以∠BDM ＝∠CEN ．又BD ＝CE ，DM ＝EN ，所以△BDM ≌△CEN ，所以∠B ＝∠C ，即AB ＝AC ．例4 如图，△ABC 中，BF 、CE 交于点D ，BD ＝CD ，∠BDE ＝∠A ，求证：BE ＝CF ．解析：作△ABC 的外接⊙O ，延长CE 交⊙O 于G ，连接BG ．因为∠G ＝∠A ，∠BDE ＝∠A ，所以∠G ＝∠BDE ，所以BG=BD ．又BD ＝CD ，所以BG ＝CD. 又因为∠G ＝∠CDF ，∠GBE ＝∠DCF ，所以△GBE ≌△DCF ．所以BE ＝CF ．例5 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：BC ＝BD ＋AD ．解析：作△ABD 的外接圆交BC 于E ，连结DE ．因为BD 是∠ABC 的平分线，所以弧AD ＝弧DE ，所以AD ＝DE ．在△BDE 中，∠DBE ＝20°，∠BED ＝180°―100°＝80°，所以∠BDE ＝80°， B C C

三角形各性质总结

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。主要特点 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

1、定义 2、三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。 2、性质 1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。 2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3、判定 ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 ⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

函数的基本性质知识点归纳与题型总结

函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)

＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．

辅助圆解题精讲

第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆； 3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆． (3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆． (4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四个顶点共圆．【例题求解】一·利用圆的定义添加辅助圆【例1】如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．16 思路点拨作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 2 1倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ． k 1 二·作三角形的外接圆【例2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．变式练习： 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．不小于3的整数 (全国初中数学联赛题)

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=2 1∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN= 2 1（AB －CD ）．

四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】 1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ． 2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ． 3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．

直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 2 1AD =． 2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 2 1DC BD = =，所以AD=BD=DC=BC 21，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2， ∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论： ①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形； ②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用 1、2 1倍关系求值例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2 1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．

高中数学-函数的基本性质小结

函数的基本性质【教学目标】【教学重点】

函数的基本性质及应用【教学难点】函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。【教学过程】：一．知识整理 1．基本思想（1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。（2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题：（1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩（2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义（3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合（4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的相等：定义域相同，对应法则相同函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；

巧用椭圆的第二定义解题

巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小，而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223

知识点二：直角三角形的中线性质(较难)

1.2 直角三角形之斜边中线性质 1、直角三角形两直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的中线长等于（） A.2.5cm B.2.4cm C.5cm D.3cm 2、直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于（） A.13 B.12 C.10 D.5 3、直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（） A.4 B.54 C.4或54 D.4或52 4、（2004年江苏省苏州市中考）如图2，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ． 5、（2004年上海市中考）如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB AD 2 1 ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G 。求证：AG=DG 。

6、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。 7、（2003年上海市中考题）已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。 8、（2007年呼和浩特市中考）如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD 的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。 9、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。

求证：MN ⊥DC 。 10、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点求证：MN ⊥DE N M E D C B A 11、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF F E D C B A

课题函数的基本性质之函数的单调性.doc

1、板书课题以及预习问题分析课本 27页五个图象中y 与x 的变化规律？并思考各函数的定义域是什么？它的图象变化规律在整个定义域上都相同吗？并写出每个函数的单调区间 2、若于(兀)在［0,+oo)上是增函数，判断/(3)和/(龙)的大小关系 3、下列说法不正确的是() 1 ) 已知函数/(%)二丄，因为 /(-1)< /(2),所以函数/(兀)是增函数。 2) 、若函数/(兀)满足/(2) < /(3), 则函数/(x)在区间［2,3］上为增函数 3) 、若函数于(兀)在区间(1,2］和 (2,3)均为增函数,则函数/(尢)在区间(1,3)上为增函数 4)、因为函数f(x) = -在区间 X (?oo, 0)和(0,4-00 )都是减函数，所以函数f(x) =丄在其定义域内是 X 减函数 4、若函数y =仏-1)兀+ /?在(?8, +x) 上是增函数，则k 的取值范围是多少？ 5、已知函数 f(x) = -x 2 -6x + 5，则() A 函数 B C D 函数 /⑴在(-3,+-) ±是减 /(劝是减函数 /(X )是增函数 /⑴在(-3,4-00)±是增预习课本内容加强学生自学能力

本节课六分之五的同学都能掌握本节课的基本内容，在合理灵活使用上述有待提高! 另外在学习过程中，第三小组的同学合作较好！八、板书设计函数的单调性预习问题教学目标函数单调性的定义如何判断函数的单调区间如何证明函数的单调性九.教学反思可以从如下角度进行反思（不少于200字）：对学牛来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。因此，在设计教案时，加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东四。本节内容的教学重点确立为：函数单调性的概念及判断或证明函数单调性的方法步骤。乂因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把判断或证明函数单调性确立为教学难点。为了使学生从知识上、能力上、思想上得到尽可能大的发展，我采取发现法、多媒体辅助教学。首先创设情境、激发兴趣。研究实际牛活中上下楼梯的问题，充分调动学牛积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。其次，探索新知。引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。针对函数图象，依据循序渐进原则，设计三个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。学生各抒己见，这时教师及时对学生鼓励评价，会激发学生探究知识的热情。这一过程教会学生与人合作，提供了灵感思维的空间，在对概念理解基础上，强化了单调区间这一概念。鼓励学生自主探索归纳类比三例，师生合作得出增减函数、函数单调性、单调区间的定义，然后设计判断对错题，达到细、深、全面的理解定义，学生经历了“再创造知识”的过程，利于发展创新意识。再次，巩固新知，由感性到理性，引导学生逐步探究利用图象判断函数的单调性和根据定义判断或证明函数的单调性两种方法。体验了数学方法发现和创造的历程。探究时先以基本初等函数为载体，再深化扩展为函数的一般性质。从而理解掌握二次函数、一次函数、反比例函数的单调性。为后面的学习及综合应用奠定基础，同时培养学生的创新意识和逻辑思维

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

解三角形题目的思考文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；常规解法及题根：（15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质：（1）平分角（2）到角两边距离相等（3）线段成比率中点性质与结论：（1）平分线段；（2）向量结论；（3）两个小三角形面积相等。题目解法搜集：解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7；在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。

圆的解题技巧总结

圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A、B两点重合，即有结论AP=BP，弧AC=弧BC．其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据．例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你补全这个输水管道的圆形截面； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．例2如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD 的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB=？例3如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为多少？例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具？

二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1．忽视点的可能位置．例5 △ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若32 BC cm ，则∠A 的度数为______． 2．忽视点与圆的位置关系．例6 点P 到⊙0的最短距离为2 cm ，最长距离为6 cm ，则⊙0的半径是______． 3．忽视平行弦与圆心的不同位置关系．例7 已知四边形ABCD 是⊙0的内接梯形，AB∥CD，AB=8 cm ，CD=6 cm ，⊙0的半径是5 cm ，则梯形的面积是______． 4．忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P 在⊙0外，OP=13 cm ，PA 切⊙0于点A ，PA=12 cm ，以P 为圆心作⊙P 与⊙0相切，则⊙P 的半径是______．例9 若⊙O 1与⊙02相交，公共弦长为24 cm ，⊙O 1与⊙02的半径分别为13 cm 和15 cm ，则圆心距0102的长为______．三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点．判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线

三角形中线的巧用

三角形中线的巧用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角形中线的巧用边的知识：三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之差小于第三边角的知识：三角形三个内角的和等于180° 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。三角形线的知识：三角形的中线、高、角平分线都是线段。锐角三角形的三条高都在三角形的内部。直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。三角形全等的知识：全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA、AAS这四种。三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段 AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . AE⊥BC于E，即AE是△ABC 的边BC上的高。同时AE也是△ABD、△ACD的高。

根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即 . △ABD、△ACD的面积可表示为：，，所以△ABD、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。例1 如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BGD 和△AGE面积的大小。析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角形ABC的面积的一半。所以=，所以，即.所以△BGD和△AGE的面积相等。引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，，而，所以，，所以结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ）注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。