定积分学习要点

定积分

一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求

1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．

3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．

5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．

重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．

难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．曲边梯形

所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义 （1）定积分的概念

设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，任取分点

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ，

把区间],[b a 分成n 个小区间),2,1]([,1n i x x i i Λ=-，记为

{}i n

i i i i x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λΛ，

再在每个小区间],[1i i x x -上，任取一点i ξ，取乘积i i x f ∆)(ξ的和式，即

i

n

i i

x f ∆∑=1

)(ξ．

如果0→λ时上述极限存在（即这个极限值与],[b a 的分割及点i ξ的取法均无关），则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积，并且称此极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记

做

⎰

b

a

x x f d )(，即

⎰

∑=→λ∆ξ=b a

n

i i i x f x x f 1

)(lim d )(，

其中)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限，符号⎰

b

a

x x f d )(读做函数)(x f 从a 到b 的定

积分．

关于定积分定义的说明：

①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如

⎰

⎰

=2

/π0

2

/π0

d sin d sin t t x x ，一般地有

⎰

b

a

x x f d )(=⎰b

a

t t f d )(．

②定积分的存在定理：如果)(x f 在闭区间],[b a 上连续或只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．

（2）定积分的几何意义 设)(x f 在],[b a 上的定积分为

⎰

b

a

x x f d )(，其积分值等于曲线)(x f y =、直线

b x a x ==,和0=y 所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．

3．定积分的性质

（1）积分对函数的可加性，即

⎰

⎰⎰±=±b

a

b a

b

a

x x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([,

可推广到有限项的情况，即

⎰⎰⎰±±=±±±b

a

b a

b

a

n n x x f x x f x x f x f

x f d )(d )(d )]()()([12

1

ΛΛ．

（2）积分对函数的齐次性，即

⎰

⎰=b

a

b

a

k x x f k x x kf )( d )(d )(为常数．

（3）如果在区间],[b a 上1)(≡x f ，则

⎰

-=b a

a b x d 1．

（4）（积分对区间的可加性）如果b c a <<，则

⎰

⎰⎰+=b

a

c a

b

c

x x f x x f x x f d )(d )(d )(．

注意：对于c b a ,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有

⎰⎰⎰+=b

a

c a

b

c

x x f x x f x x f d )(d )(d )(．

（5）（积分的比较性质）如果在区间],[b a 上有)()(x g x f ≤，则

⎰

⎰≤b a

b

a

x x g x x f d )(d )(．

（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值与最小值，则

)(d )()(a b M x x f a b m b

a

-≤≤-⎰．

（7）（积分中值定理） 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得

⎰

-ξ=b

a

a b f x x f ))((d )(．

4．变上限的定积分 （1）变上限的定积分

当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分

⎰

x

a

t t f d )(就有一个确定的值，

⎰

x

a

t t f d )(因此是变上限的一个函数，记作

⎰≤≤=x

a

b x a t t f x )( d )()(Φ，

称函数)(x Φ为变上限的定积分． （2）变上限的定积分的导数

如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则变上限定积分⎰

=

x

a

t t f x d )()(Φ在闭区间

],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即

⎰≤≤=='=x

a b x a x f t t f x

x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ． 5．无穷区间上的广义积分

设函数)(x f 在),[+∞a 上连续，任取实数a b >，把极限⎰

+∞

→b

a

b x x f d )(lim 称为函数)

(x f 在无穷区间上的广义积分，记做