交通流理论---第八章4

i P( X x) 1 Cn p i (1 p ) n i i 0
P( X 0) (1 p)
P( X x) C
k 1 k x k 1 x
n
n x 1 p P( X x) p( X x 1) x 1 p
p (1 p) ( x 0,1,2
2
交通工程学教师:朱艳茹
第二节 交通流中排队理论
n与ρ的关系可绘成图，从图中不难看出当交通强度ρ越过 0．8时，平均排队长度迅速增加，而系统状态的变动范围和频度 增长更快，即不稳定因素迅速增长，服务水平迅速下降。
a）
b)
a）n与ρ的关系图；b）σ与ρ的关系图
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第二节 交通流中排队理论 平均排队长度：
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第二节 交通流中排队理论 （2）排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： 损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占， 该顾客就自动消失，永不再来。
等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占， 它们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务 （这是最通常的情形）和优先权服务（如急救车、消防 车）等多种规则。
Var ( X ) np(1 p) (1 p) 1 E( X ) np
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第一节 交通流的统计分布特性 例8－3一交叉口．设置了专供左转的信号相，经研究指 出：来车符合二项分布。每一周期内平均到达20辆车， 有25要的车辆左转但无右转。求： ①到达三辆车中有一辆左转的概率。
( / ) N P (0) q 2 ( N 1)( N )
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第二节 交通流中排队理论 例8－5有一收费公路，高峰小时以2400辆／h的车流量 通过四个排队车道引向四个收费口。平均每辆车办理收 费的时间为5s，服从负指数分布。试分别按单路排队和 多路排队的两种服务方式计算各相应的指标并比较之。

ix
第一节 交通流的统计分布特性 4、均值与方差
me m e E( X ) x m x m x ( x 1) x 0 x 1
me Var ( X ) ( x m) x x 1
2 x m

x m

x 1 m
m
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第一节 交通流的统计分布特性 5．适用条件
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第一节 交通流的统计分布特性
图8-5泊松分布
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第一节 交通流的统计分布特性 2、递推公式
m m P( x) P( x 1)( x 1), P(0) e x
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第一节 交通流的统计分布特性
3、累计分布
P( X x)
（2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务 台的工作强度。
（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分， 这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
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第二节 交通流中排队理论 二、单通道排队服务（M／M／1）系统
由于排队等待接受服务的通道只有单独一条，故称“单 通道服务”系统。如图
②某一周期不使用左转信号相的概率。
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第一节 交通流的统计分布特性 解；①已知：n＝3．x=1．P=0.25，代入式中 到达三辆车中有一辆左转的概率 可求出
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第二节 交通流中排队理论 一、排对论的基本概念
1．“排队” 单指等待服务的，不包括正在被服务的， 而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在服 务的车辆。
混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队 伍；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
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第二节 交通流中排队理论
（3）服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种：
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第二节 交通流中排队理论
设顾客随机单个到达，平均到达率为λ，则两次到 达之间的平均间隔为1/λ。从单通道接受服务后出来的 输出率（即系统的服务率）为μ，则平均服务时间为1/μ。 比率ρ=λ/μ叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态 的性质。如果ρ＜1（即λ＜μ＝并且时间充分，每个状 态将会循环出现。当ρ≥1，每个状态是不稳定的，而排 队的长度将会变得越来越长，没有限制。因此，要保持 稳定状态即确保单通道排队能够疏散的条件是ρ＜1，即 λ＜μ。
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第二节 交通流中排队理论 解：这是一个M／M／l系统。由题意如
300 辆 / h
1 3600 u 辆/ s 360 辆 / h 10 10 300 0.83 1 u 360
该系统是稳定的。
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第二节 交通流中排队理论 排队系统中车辆的平均数： 300 n 5辆 1 u 360 300 平均排队长度：
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第一节 交通流的统计分布特性
2．递推公式
n x 1 p P( X ) p ( x 1)( x 1) x 1 p P (0) (1 p )
n
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第一节 交通流的统计分布特性 3．累积二项分布
P( X x)
i Cn p i (1 p ) n i i 0 x x 1
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第一节 交通流的统计分布特性
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第一节 交通流的统计分布特性
例8－2设60辆汽车随机分布在4km长的道路上， 求任意400m路段上有4辆车的概率及4辆以上车的概率。
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第一节 交通流的统计分布特性 解：400m路段上平均到达车辆数为：
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第一节 交通流的统计分布特性
二、二项分布 基本公式 交通流为拥挤车流，观测周期t内到达x辆车的概率服从 二项分布，公式为：
P( X x) C p (1 p) ( x 0,1,2)
x x n
n x
C
x n
n x( n x )
——从n辆中取出x辆车的组合；
n——观测周期t内可能到达的最大车辆数，可根据最 大流率求出n。n为正整数； p——二项分布参数，p＜l，经常代表转向车流占整个 车流的比例，%．
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第一节 交通流的统计分布特性 一、泊松分布
1、基本公式
式中：
( m) e P( X x) x
x
m
( x 0,1, 2, )
P（x）——在计数周期t内到达x车辆的概率；
t——每个计数周期的持续时间，S;
入——单位时间平均到达率，veh/s; m——在t时间间隔内平均到达的车辆数， m=入t e——自然对数的底，取值为 2．718 28。
定 长 分 布——每一顾客的服务时间都相等。
负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服 从相同的负指数分布。 爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具 有相同的爱尔朗分布。
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第二节 交通流中排队理论 3排队系统的主要数量指标 最重要的数量指标有三个：
（l）等待时间——从顾客到达时起到他开始接受服务 的这段时间。
N !N
1 ] 2 (1 / N )
平均排队长度：
P (0) N 1 1 q [ ] n 2 N !N (1 / N )
排队系统中的平均消耗时间：
( / ) N P (0) 1 n d ( N 1)( N ) 2
排队中的平均等待时间：
适用于交通流量小，驾驶员随意选择车速，车辆 到达是随机的，判据为：
D( x) 1 E ( x)
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第一节 交通流的统计分布特性
例8-1 在平均交通量为120辆/h的道路上，已知交通 流到达服合泊松分布，求30s内无车到达、有1辆、有2 辆、有3辆、有四辆及电辆以上车通过的概率。
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第二节 交通流中排队理论 2．排队系统的三个组成部分
（1）输入过程 指各种类型的“顾客（车辆或行人）” 按怎样的规律到来。
定长输入——顾客等时距到达。 泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。这种 输入过程最容易处理，因而应用最广泛。
爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
q n 5 0.83 4.15辆
排队系统中的平均消耗时间：
1 1 d 3600 60 s / 辆 360 300
排队中的平均等待时间：
W
300 3600 50 s / 辆 ( ) 360 (360 300 )
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i 0
x
mi e m i
P( X x)

i 0
x 1
mi e m i
P( X x) 1
i 0
x
mi e m i
mi e m i
mi e m i
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P( X x) 1
i 0
y
x 1
P( x X y )
第二节 交通流中排队理论
多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队， 每个通道只为其相对应的一队车辆服务，车辆不能随意 换队。如图所示，这种情况相当于N个单通道服务系统。
多路排队多通道服务
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第二节 交通流中排队理论 对于多通道服务系统，保持稳定状态的条件，不 是ρ＜1，而是ρ/N＜1。其中ρ为各通道平均值。若令人 为进入系统中的平均到车率，则对于单路排队多通道服 务系统，存在下列关系式：
第二节 交通流中排队理论 三、条通道排队服务（M／M／N系统
在这种排队系统中，服务通道有来自百度文库条，所以叫 “多通道服务”系统。根据排队方式的不同，又可分为：
单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通 道服务的情况。排队中头一辆车可视哪个通道有空就到 哪里去接受服务，如图所示。
单路排队多通道服务图
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第二节 交通流中排队理论
在系统中没有车辆的概率：
p(0) 1
在系统中有n辆车的概率：
p(n) p (1 )
n
n
排队系统中车辆的平均数：
n

1
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第二节 交通流中排队理论
排队系统中车辆数的方差：
2 (1 )
系统中没有车辆的概率：
P (0)

n 0
N 1
n
n n
n
1
P(n) P(0) / n
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第二节 交通流中排队理论 系统中有n辆车的概率：
P ( n)

n n N
N !N
P(0)
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第二节 交通流中排队理论 排队系统中的平均车辆数： P (0) N 1 n [
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第一节 交通流的统计分布特性 4．均值与方差
E ( X ) np
Var ( X ) np(1 p)
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第一节 交通流的统计分布特性 5．适用条件
交通量大，拥挤车流，车辆自由行驶的机会减少， 车流到达数在均值附近波动（适合交叉口左转车到达， 超速车辆数。）判据为：
第八章 交通流理论
教学内容：
1、交通流的统计分布特征；
2、排队论及其应用；
3、跟驰理论；
4、流体力学模拟理论。
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教学要求：
掌握泊松分布理论、二项分布理论在交通
流分析中的应用；熟悉M/M/1，M/M/n系统理论 及其应用；了解跟驰理论及流体力学模拟理论。 阅读参考文献，思考课后习题。
q
2 1

n
排队系统中的平均消耗时间：
d

1

排队中的平均等待时间：
1 d ( )
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第二节 交通流中排队理论
例8—4某高速公路人口处设有一收费站，车辆到达该站 是随机的，单向车流量为300辆/h，收费员平均每10s完 成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计 在检查站上排队系统中的平均车辆数。平均排队长度、 排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。