对称式与轮换对称式

1.基本概念

【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代 数式不

变，即对于任意的i, j (1

f (X1… Xi …

Xj ,Hl Xn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn) 那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。

x + y 2 2 2

例如，x + y, xy,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。 xy

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为

n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式f(X, y, z)中，若有ax 3

项，则必有ay

3

, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，

2 2 2 2

by Z, by x, bz x, bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三 个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:

a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d

【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式

为n 元r 次齐次多项式。

【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数

式均改变符号，即对于任意的

i , j (1

f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )

那么就称这个代数式为 n 元交代式。

例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。 X + y

【定义4】如果一个n 交代数式f(X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代

竞赛专题

对称式与轮换对称式

nc Xj,

由定义2知，n 元多项式X 2,D,

X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r

f(X i , X 2口,

X n )。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为:

a(x+y+z) + bXy X 七 2y

+x 2 y +z 2 z x)2 z + y cx y z

X i , X 3代X 2,口 X n 代X n V X ,代X n 后代数式不变，即

f(X i , X 2,匚D X n )三 f(X 2, X 3,, X n , X i )

那么称这个代数式为 n 元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如, 称式也是轮换式；

b(x 2y+y 2z +z 2x)是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:

两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;

两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式; 同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;

多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

bi

(X ,, X 2, 口 X n )=艺 X i

i

壬

^2

(为，X 2 口 X n)= 2 X j X j

X n )

= X 1 X 2 nnO x n

例如，二兀基本对称多项式是指 X + y, xy ,

三元基本对称式是指 X + y + Z, xy + yz + zx, xyz

当你学完了高等代数的时候就会知道， 任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称 多项式

的多项式。这个结论对解题的指导作用。

2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用

a(x 2 + y 2 + z 2

)是对

(4) 两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式;

【定义5】下面n 个对称多项式称为

n 元基本对称多项式。

k

( X i , X 2 , LLU X n )=

<1

n

z

■

X i , X i 2 Ul X i k

其中g （X, y, z ）是对称式。

f(X , z- ( X y( 7 z(—z

其中g （X, y, z ）是对称式。

是常用的。

齐次对称多项式的一般形式: （1）二元齐次对称多项式

（2）三元齐次对称多项式 2 2 2

a(x + y +z )+b(xy + yz + zx) a(x 3 +y 3 +z 3) +b [x 2(y + z) + y 2(z + x) +z 2(x + y)]+cxyz

判定mx + ny+rz 是否为多项式f （X , y,z ），的因式的方法是：令 mx + ny + rz=O ,计 算 f （X, y, z ），如果 f （X, y, z ）=0 ，那么mx+ ny + rz 就是f （x, y, z ）的因

式，在实际

操作时，可首先考虑 mx + ny+rz 的如下特殊情形:

X, x + y, x —y, x + y + z x-y+z

2 2 2 2 2 2

【例 1】：已知多项式 f(x, y, z)=xy(x -y ) + yz(y -z )中 zx(z -x )

为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形， 对于多元的情形,

只需作类似的处理即可。

F 面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧

若 f(x. y, z ）是对称式，则在解题中可设 x

若 f （X ， y, z ）是对称式，则当X ，y 满足性质P 时，X, Z ； y ，z 也满足性质p 。

若 f （X,

y ， z ）是轮换式，则在解题中可设 X 最大（小），但不能设X 兰y 兰Z 。（为 什么？）

若 f （X ，

y ，z ）是轮换式，且 X ， y 满足性质P ，贝y y ，z ； z X 也满足性质p 。 若 f （X ， y ，z ）是交代多项式，则 x-y.

y -Z ，Z-X 是 f （X ， y, z ）的因式，即

在利用对称式作因式分解时， 齐次对称多项式,

齐次轮换对称多项式, 齐次交代多项式

一次: a(X +y),

二次: 2 2

a(x +y ) +bxy

三次:

3

3

a(x +y ) +bxy(x + 一次:

a(x + y +z)

二次: 三次: