傅里叶级数的展开

2 0 n

k
n
[1 (1)n ]

2k

n
0,
,
n 1,3,5, n 2,4,6,
于是，函数f (x)的傅里叶级数展开式为
f (x) k 2k (sin x 1 sin 3x 1 sin 5x ) 2 23 2 5 2
5.2.3 几个常见脉冲信号的傅立叶级数
它在一个周期的表达式为
f
(
x)

0, k,
2 x0 0 x2
如何将f (x)展开成傅里叶级数？
二、 概念和公式的引出
周期为2l的函数的傅里叶级数展开与其
系数的计算公式如下：
f
(x)

a0 2


(an
k 1
cos
nx
l
bn
sin
nx ),
l
其中
an
1 l
l l
f (x) cos nx dx
l
bn
1 l
l l
f (x) sin
nx dx
l
(n 0,1,2, ), (n 1,2, )
三、进一步的练习
练习 [矩形脉冲信号]
设脉冲信号函数f (x)是周期为4的周期函数，它在
一个周期 [2,2] 上的表达式为
f
(
x)

0, k,
2 x0 0 x2
(k 0)
如右图所示，把它展开成
傅里叶级数。
解 按周期为2l的函数展开成傅立叶级数的计算
公式，这时l=2，有
a0

1 2
2 f (x)dx 1 (
2
2
0
0dx
2
2 0
kdx)
1 2
kx
2

0
k
an
1 2
2 2
f (x) cos nxdx 1
T
cos nt
T T n1 n
2
(t kT , k 0,1,2, ) 2
2
T
二、 [周期锯齿脉冲信号]
这种信号在一个周期 [0,T )内的函数为:
f (t) E t T
它的傅立叶级数展开式为
E Em 1
f (t)
sin(2n 1)t
2 n1 2n 1
22
2 k cos nxdx
0
2
( k sin nx ) 2 0 n 2 0
(n 1,2,3, )
1
bn 2
2
n x
f (x)sin dx
2
2
1 2
2 k sin n x dx
2
2
( k cos n x ) 2 k (1 cos n )
n

－1,

1,
x 0 0 x
将它展开成傅里叶级数。
二、 概念和公式的引出
周期延拓 设函数f (x)在[ , ]上有定义，并且在 [ , ]上满足收敛定理的条件，那么，我们可以在函数 定义区间外补充f (x)的定义，使它拓展成以2 为周期
的函数F (x) ，按这种方式拓展函数定义域的过程称为 周期延拓。
(t kT, k = 0,1,2, ) 2
T
三、[周期三角脉冲信号]
这种信号在一个周期 [0,T )内的函数为:
f (t) E(1 2 | t |) T
它的傅立叶级数展开式为
E 4E m 1
f (t)
2

2

n1
(2n
1) 2
cos(2n
1)t
( t ) 2
一、周期矩形脉冲信号 二、周期锯齿脉冲信号 三、周期三角脉冲信号
一、周期矩形脉冲信号
周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ,脉冲幅度为E ，
周期为T ．它在一个周期内的函数表达式为:
f
(t)

E,
k ,
t
2
t
2
它的傅立叶级数展开式为
Eτ 4E m 1 n
f(t) sin
三、进一步的练习
练习1 [单脉冲信号的傅里叶级数展开式]
有一定义在[ , ] 的单脉冲信号函数 f (x) x2 ，
如下图所示，将它展开成傅里叶级数。
解 将f (x)作周期延拓，延拓后为偶函数，则
bn 0
a0

2

(n 1,2,3, )

2
f (x)dx
0

0
x2dx
延拓后，处处连续，所以
x2

2
3
4(cos
x

cos 2x 22

cos 3x 32

)
其中 ( x )
5.2.2 周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数
一、案例Hale Waihona Puke Baidu二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例 [周期为4的函数展开成傅里叶级数]
设脉冲信号函数f (x)是周期为4的周期函数，

2


x3 3

0

2 2
3
2
an
F(x) cos nxdx
0
2
x2 cos nxdx
2
(x2 sin

nx
2

x sin
nxdx)
0
n
0
0

4
n2
(x cos nx) 0

4
n2

cos nxdx
0

4 n2
(1)n
(n 1,2,3, )
5.2 周期不为2 的周期函数展开成傅里叶级数
5.2.1 周期延拓 5.2.2 周期为2l的周期函数展开成傅里叶 级数 5.2.3 几个常见脉冲信号的傅里叶级数
5.2.1 周期延拓
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例 [单脉冲信号的傅里叶级数展开]
已知一脉冲矩形波信号为
f
(x)