优化课堂秋数学北师大必修练习： 从位移速度力到向量 含解析

[A 基础达标]

1．下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向； ②单位向量的方向任意；

③长度为1 cm 的向量是一个单位向量； ④与一个非零向量共线的单位向量有两个． A ．0 B ．1 C ．2

D ．4

解析：选B.零向量的方向任意，不是没有方向，故①不正确；单位向量一旦确定，其方向也是确定的，故②不正确；单位向量长度为1个单位长度，而1 cm 不一定等于1个单位长度，故③不正确；与一个非零向量共线的单位向量有两个，它们方向相反，故④正确．

2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，有下列4个结论：

①AD →＝FE →，AF →＝DE →；②DF →∥CB →

； ③|CF →|＝|DE →|；④FD →＝BE →. 其中正确的为( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④

D ．①④

解析：选B.因为D ，E ，F 分别为△ABC 边AB ，BC ，CA 的中点，所以EF 綊1

2AB ＝AD ，

AF 綊DE ，DF ∥CB ，DE 綊CF ，故①②③正确．

3．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是( )

A ．C A

B ．A ∩B ＝{a}

C ．C

B

D ．A ∩B

{a}

解析：选B .因为A ∩B 中还含有与a 方向相反的向量，故B 错． 4．给出下列说法：

①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；

②若向量AB →是单位向量，则向量BA →

也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选C .由单位向量的定义知，凡长度为1个单位长度的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →

也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的．

5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )

A ．4π

B ．π

C ．2π

D ．3π

解析：选D .图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12)＝3π. 6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →

是共线向量，则m ＝________．

解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m 与AB →，BC →

都共线，所以m ＝0.

答案：0

7．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →

，则四边形ABCD 的形状是________．

解析：在四边形ABCD 中，BA →＝CD →，则ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →

|，所以四边形是菱形．

答案：菱形 8.

如图所示，在梯形ABCD 中，若E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →

|＝5，则|EF →

|＝________．

解析：过D 作DH ∥AB ，分别交EF ，BC 于点G ，H ，

因为|AD →|＝2，所以|EG →|＝|BH →

|＝2， 又|BC →|＝5，所以|HC →

|＝3，

又E ，F 分别为腰AB ，DC 的三等分点， 所以G 为DH 的三等分点，所以GF →∥HC →

， 且|GF →|＝13

|HC →|，

所以|GF →|＝1，所以|EF →|＝|EG →|＋|GF →

|＝2＋1＝3. 答案：3

9．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？

解：

如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →

|＝1 400(km)． BC →表示飞机从B 地按东偏南15°方向飞行到C 地的位移，则|BC →

|＝1 400(km) . 所以AC →

为从A 地到C 地的位移．

在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400(km)，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以AC ＝1 400(km)．

所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1 400 km 处． 10.

已知ABCD 是任意四边形，边AD ，BC 的中点分别为E ，F ，延长AF 到G ，使F 恰为AG 的中点，连接BG ，CG ，DG ，AC .

(1)试找出与AB →

相等的向量； (2)试找出与AC →

相等的向量； (3)试找出与EF →

共线的向量． 解：(1)F 是AG 和BC 的中点，

所以四边形ABGC 是平行四边形． 故AB →＝CG →.

(2)由(1)知四边形ABGC 是平行四边形， 所以AC →＝BG →.

(3)因为E 为AD 的中点，F 是AG 的中点， 所以EF 为△ADG 的中位线，EF ∥DG ， 所以与EF →共线的向量有DG →，GD →和FE →

.

[B 能力提升]

1.

如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →

模的3倍 D.CB →与DA →

不共线

解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →

所在直线平行，向量方向相同，故共线．

2．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．

解析：据题意画出图形如图所示，

由图可知|BC →

|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°， 故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km 3.