上海高中数学辅导班 上海高二秋季班

审给定函数y=f(x)
计算 y f ( x x ) f ( x ) x x
令x无限趋近于0
y 无限趋近于f ' ( x） x
f (x)
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示例1用导数的定义求下列各函数的导数：
(1) f ( x) kx b(其中k , b为常数) ( 2) f(x) C (C为常数） ( 3) f ( x ) x
'
' 特批： x
1
(Cu)
'
Cu C为常数; (kx b) k .
'
1 ; x2 ; x
'
1
x 2
'
1 x .
求函数的导数的方法是:（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算 比 值 ; x x y ( 3) 当x 0时, 则 f ( x); x
'
(6 )(sinx) cosx
'
' (7)(cosx) sinx
一、幂函数求导法则
对幂函数 y x a求 导 公 式 为 : y ax a 1 口 诀 为: 求 导 幂 减 一 ， 原 幂 作 乘 数.
二、正、余函数求导法则
(1)(sinx) cosx ' (2)(cosx) sinx
(4) f ( x) x 2
(5) f ( x) x 3
(1)( kx b )' k ( k , b为常数） ( 2 )C ' 0(C为常数） ( 3)( x )' 1 (4)(x 2 )' 2x (5)(x 3 )' 3 x 2 1 ' 1 (6 )( ) 2 x x 1 ' (7 )( x ) a a 1 对 幂 函 数 y x 求 导 公 式 为 : y ax 2 x
'
三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (ln x ) x
'
1
2
1 1 (log a x ) log a e x x ln a
'
2、指数函数的导数
1
(a ) a ln a
x '
x
2
(e ) e
x '
x
巩固1求下列函数的导数：
(1) y x
12
(6) y 2008x
2007
1 (7) y (8) y 5 x ln 5 x ln 2
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:
(1) y x
( 3) y 1 x
1.8
( 2) y x 3
(4) y x 3 4 x
解： (1) y 1.8 x1.81 1.8 x 0.8
口 诀 为: 求 导 幂 减 一 ， 原 幂 作 乘 数.
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(1)( x ) x
x ' x
'
1
(为常数）
( 2)(a ) a lna(a 0,且a 1)
1 1 ( 3)( loga x ) loga e (a 0 , 且a 1) x xlna 1 x ' x ' (5)(lnx) (4 )(e ) e x
( 3) y ( 1
1 x2
(2) y 3x 31 3x 4
1 2
1 1 x 2
) ( x

1 2
)

1 x 2

3 2
1 1 13 3 (4) y ( x 3 x 4 ) ( x 4 ) ( x 4 )
13 13 4 1 x
(2) y
1 x
4Leabharlann Baidu
(3) y
4 x5
5
x
3
(4) y
3 5 x2
5
1
3
x
1 3 x4
3
答案(1) y 12 x 11 (2) y
(3) y
(4) y
(5) y sinx
答 案(5) y cosx
(6) y x 2008 (7) y log2 x (8) y 5 x
课前检测 n ' ' n 1 1、 ; C 0 (C为常数); ( x ) nx ' ' sin x cos x ; (cosx) sin x
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1 2、
u v ; ' 2 u v u v v uv.
1 (6 ) f ( x ) (7 ) f ( x ) x x y f ( x x ) f ( x ) k ( x x ) b ( kx b) (1)提 示 ： k x x x y 当x 0时 ， k x 即f ' ( x ) k
3
1 2 2 27 27
1.(1)函数y x 3 x的导数为 ________;
(2)曲线y cos x在点( ,0)处的切线的倾斜角为 _____; 2 1 2.(1)求过曲线y cosx上点P（ ， ）且与过这点的切线 3 2 垂直的直线方程. π 3 ( 2)曲线y = sinx在点P（ ， ）处的切线斜率为_____; 3 2
(3)求曲线y 3x x 2上过点A(2,2)的切线方程为 _____;

引例1 求y x 2 lnx 3x在点(1,3)处 的切线方程.
3x 2 引例2 求函数 y
x
2
在点 (1, 1)处的切线方程
4

9 13 4 x
4
2、已知y x 3 , 求y x2
解： y ( x 3 ) 3x 31 3x 2
y x2 3 (2)2 12
3、已知y
1 x2
, 求y x 3
解： y ( x 2 ) 2x 21 2x 3
y x3 2 (3)