2[1].6量子化通则

§2.7 电子的椭圆轨道 与氢原子能量的相对论效应
电子在原子核的库仑场中的运动正如行星绕太阳运动，受与 距离的平方成反比的力。
运动轨迹为椭圆，原子核在椭圆的一个焦点上（原子核不动）
1、量子条件的引用与椭圆轨道的特性
电子绕原子核在一个平面上作椭圆运动，自由度为2 (r,)
r对应的动量：pr mr
二、相对论修正
按相对论原理，物体质量 随它的运动速度而改变：
物体动能：
m
m0
1
v2 c2
T
mc2
m0c2
m0
c
2
1
1
1
v2 c2
椭圆轨道运动时电子的轨道不
是闭合的，而是连续的进动。
•
一个电子轨道的进动
轨道的进动使得在n相同n不同的轨道上运动时
能量略有差别。索末菲按相对论力学原理推得：
b n n a nr n n
主量子数：n nr n
半长轴
a
(nr
n )2
4 0 h 4 2mZe2
n2
a1 Z
半短轴
b (nr
n )n
4 0 h 4 2mZe2
nn
a1 Z
椭圆轨道的特征
半长轴 半短轴 能量
量子数
a
n2
a 1
Z
a b nn 1
Z
a n bn
22 mZ 2e 4
E
§2.6 量子化通则
量子化通则
由玻尔氢原子轨道量子化条件
2r mv 2 mvr nh, n 1,2,3...
上式也可写成：
Ps Q P 2 nh，n 1,2,3,...
即：在圆周运动中，动量PS与圆周周长Q的乘积或角动量
与一周的角位移 2 的乘积必等于h的整数倍。
P
索末菲（1916）等提出量子化的普用法则
例如 n =1,2,3时，各种 可能的轨道形状如下：
a1
n=1,n=1
2a1 4a1
n=2,n=2
n=2 ,n=1
6a1 3a1
9a1 n=3,n=1
n=3,n=2 n=3,n=3
椭圆轨道的相对大小
例：根据玻尔－索末菲理论，氢原子的主量子数n＝３时， 试问（１）电子的轨道可能有哪几种；（２）电子离原子 核的最近距离分别为多大？（以第一玻尔半径a1为单位）
对应的角动量：p mr2 r
, vt r
v r r
vn r
Ze
体系的能量：
E 1 mv2 Ze2 1 m(r2 r22 ) Ze2
2
4 0r 2
4 0r
引用量子条件 pdq nh
pd
n h, n
: 角量子数。
p
n h
2
p dr r
nr h，nr
:
径量子数。
椭圆半长轴和半短轴之间的关系：
n
(4 ) 2 n 2 h 2
0
主量子数n 1,2,3, 角量子数n 1,2,3, , n 径量子数nr n 1, n 2, ,0
能级是简并的：即一个能级对应着n 个不同的运动状态,简并度为n,当n确 定时，能量就确定了，半长轴也确定 了，但是由于n可取由1— n共n个可 能值,所以半短轴有n个，因而有n个 不同形状的轨道,其中一个是圆，(n-1) 个是椭圆。
rm a c a a2 b2 n2a1 (n2a1)2 (n n a1)2
n(n n2 n2 )a1
当n＝３，nψ＝３时， rm＝９a1 当n＝３，nψ＝2时， rm＝2.3 a1 当n＝３，nψ＝1时， rm＝0.51a1
由此可见，当电子椭圆轨道偏心率很大时，尽管主量 子数n较大，电子离核的最近距离还是要比第一玻尔轨 道半径小。
1 2
E
c 2
来自百度文库
c2 1
nr
2Z 2
1
(n 2 2 Z 2 ) 2
2
式中
2e2 7.2972103, 40hc
Mm0
M m0
展成级数形式得：(P-55式16）
T（n, n )
E hc
RZ 2 n2
RZ 2 2
n4
n ( n
3) 4
E(n, n )
RhcZ n2
E Rhc 9
,
p
2h
2
3、n 3, n 3, nr 0
a 9a1,
b 9a1 ,
E Rhc 9
,
p
3h
2
由此可见，当 n=3时，电子可能有三种不同的轨道，他们的轨道角动量 不相等，但不同的运动状态能量是简并的
（２）可以证明氢原子核位于椭圆的一个焦点（或圆 心）上。根据椭圆参数关系，焦距 c a2 b2 ， 故电子离核的最近距离（即近日点）为
pidqi nih(ni 1,2,3,...。i 1，2，..., f )
f是自由度数目，dq是位移或角移，p是与q对应的动 量, 即线动量或角动量,积分号是对一个周期的积分
每一个坐标上均满足量子条件
pdq nh
该式不仅符合圆周运动的量子条件，还可从已经建 立的量子论推得（略）（p-49）
2
RhcZ 2 2
n4
(n n
3) 4
第一项：玻尔理论结果，第二项起：相对论效应的结果。 考虑相对论效应nE相同，，T n ，E ，T
解：由P-51式(7)和(8)知，椭圆轨道的长半轴a和短半轴b分别为
a n2a1
当n 3时 n 1,2,3 1、n 3, n 1, nr 2
b nn a1
nr 2,1,0
a 9a1,
b 3a1 ,
E Rhc 9
,
p
h
2
2、n 3, n 2, nr 1
a 9a1,
b 6a1 ,